Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作⊙D，P為⊙D上的一個動點，連接AP、OP，則△AOP面積的最大值為（　�。�

• A、4
• B、

  21

  5

• C、

  35

  8

• D、

  17

  4

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：當(dāng)P點移動到平行于OA且與⊙D相切時，△AOP面積的最大，由于P為切點，得出MP垂直與切線，進(jìn)而得出PM⊥AC，根據(jù)勾股定理先求得AC的長，進(jìn)而求得OA的長，根據(jù)△ADM∽△ACD，求得DM的長，從而求得PM的長，最后根據(jù)三角形的面積公式即可求得；

解答：解：當(dāng)P點移動到平行于OA且與⊙D相切時，△AOP面積的最大，如圖，
∵P是⊙D的切線，
∴DP垂直與切線，
延長PD交AC于M，則DM⊥AC，
∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，
∴AC=

AB2+BC2

=5，
∴OA=

5

2

，
∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，
∴△ADM∽△ACD，
∴

DM

CD

=

AD

AC

，
∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴DM=

12

5

，
∴PM=PD+DM=1+

12

5

=

17

5

，
∴△AOP的最大面積=

1

2

OA•PM=

1

2

×

5

2

×

17

5

=

17

4

，
故選D．

點評：本題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是判斷出P處于什么位置時面積最大；