Question

（2011•南崗區(qū)二模）已知四邊形ABCD中．AD=AB，AD∥BC，∠A=90°，M為邊AD的中點，F(xiàn)為邊BC上一點，連接MF，過射點作ME⊥MF，交邊AB于點E
（1）如圖1，當∠ADC=90°時，求證：4AE+2CF=CD；
（2）如圖2，當∠ADC=135°時，線段AE、CF、CD的數(shù)量關系為

8AE+4FC=3

2

CD

（3）如圖3．在（1）的條件下，連接EF、EC，EC與FM相交于點K，線段FM關于FE對稱 的線段與AB相交于點N．若NE=

10

3

，F(xiàn)C=AE，求MK的長．

Answer 1

分析：（1）過點F作FN⊥AD，垂足為N，先證明四邊形ABCD是正方形，再由兩角對應相等的兩三角形相似得出△AME∽△NFM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出邊的關系，從而得出結論；
（2）過點C作CD′⊥AD于D′，過點F作FN⊥AD于N，則四邊形ABFN與四邊形FND′C都是矩形，D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．證明△CD′D是等腰直角三角形，得出CD′=DD′=

2

2

CD，AB=

2

2

CD，再證明△AME∽△NFM，得到MN=2AE，即MD+DD′-ND′=2AE，然后將MD=

2

4

CD，DD′=

2

2

CD，ND′=FC代入，即可得出8AE+4FC=3

2

CD；
（3）設AE=FC=a，則CD=4AE+2FC=6a，AM=DM=3a，AD=CD=6a，在Rt△AME中，由勾股定理求得EM=

10

a，則FM=2

10

a，在Rt△MEF中，根據(jù)正切函數(shù)的定義得到tan∠MFE=

EM

FM

=

1

2

=tan∠EFN．再過N作NP⊥EF于P，設NP=x，則PF=2x，證明△BEF是等腰直角三角形，得出∠BEF=45°，在△ENP中，求出NP=

5

3

2

=x=EP，由EF=EP+PF，得出a=1．在△EFM中由勾股定理求出FM=2

10

，延長CE、DA相交于點R，由兩角對應相等的兩三角形相似得出△AER∽△BEC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出AR=

6

5

a，則RM=AR+AM=

21

5

a，然后證明△RMK∽△CFK，得出

MK

FK

=

RM

CF

=

21

5

，進而求出MK=

21

13

10

．

解答：（1）證明：過點F作FN⊥AD，垂足為N．
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴∠B=∠A=90°，
∵∠ADC=90°，AD=AB，
∴四邊形CDAB是正方形，
∴NF=CD=AD．
∵M為邊AD的中點，
∴AD=2AM=2MD，
∴NF=CD=2AM．
在△AME與△MFN中，
∵∠A=90°=∠MNF=∠EMF，
∴∠AME+∠NMF=90°=∠NMF+∠MFN，
∴∠AME=∠MFN，
∴△AME∽△NFM，
∴

AM

NF

=

AE

MN

=

1

2

，
∴MN=2AE，
∵MD=

1

2

AD=

1

2

CD=MN+DN=2AE+FC，
∴2MD=4AE+2CF，
∴4AE+2FC=CD；

（2）解：如圖2，過點C作CD′⊥AD于D′，過點F作FN⊥AD于N，
則四邊形ABFN與四邊形FND′C都是矩形，
∴D′C=NF=AB=AD，ND′=FC．
∵∠ADC=135°，
∴∠D′DC=45°，
∵∠CD′D=90°，
∴△CD′D是等腰直角三角形，
∴CD′=DD′=

2

2

CD，
∴AB=

2

2

CD．
在△AME與△NFM中，
∵∠A=∠MNF=90°，∠AME=∠MFN=90°-∠NMF，
∴△AME∽△NFM，
∴

AM

NF

=

AE

MN

=

1

2

，
∴MN=2AE，
∴MD+DD′-ND′=2AE，
∵MD=

1

2

AD=

1

2

AB=

1

2

×

2

2

CD=

2

4

CD，DD′=

2

2

CD，ND′=FC，
∴

2

4

CD+

2

2

CD-FC=2AE，
∴8AE+4FC=3

2

CD；

（3）解：如圖3，AE=FC=a，則CD=4AE+2FC=6a，
∴AM=DM=3a，AD=CD=6a，
在Rt△AME中，EM²=AM²+AE²，
∴EM=

10

a，
由（1）得FM=2EM=2

10

a．
在Rt△MEF中，tan∠MFE=

EM

FM

=

1

2

=tan∠EFN．
過N作NP⊥EF于P，設NP=x，則PF=2x，
∵BE=AB-AE=BC-FC=BF，∠B=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴∠BEF=45°，
在△ENP中，NE=

10

3

，
∴NP=

10

3

×

2

2

=

5

3

2

=x=EP，
∵EF=EP+PF=3x=5

2

=

2

BE=

2

×5a，
∴a=1，
∵EM²+FM²=EF²，
∴FM=2

10

，
延長CE、DA相交于點R，
在Rt△AER中，∵AR∥BC，
∴∠R=∠ECB，
∵∠AER=∠BEC，
∴△AER∽△BEC，
∴

AR

BC

=

AE

BE

=

a

5a

=

AR

6a

，
∴AR=

6

5

a，
∵RM=AR+AM=

21

5

a．
∵RM∥FC，
∴∠R=∠KCF，
∵∠RKM=∠CKF，
∴△RMK∽△CFK，
∴

MK

FK

=

RM

CF

=

21 5 a

a

=

21

5

，
∵MK+FK=FM=2

10

，
∴MK=

21

26

FM=

21

13

10

．

點評：本題考查了矩形、等腰直角三角形、正方形、相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，綜合性較強，難度較大．準確地作出輔助線，運用數(shù)形結合思想是解題的關鍵．