Question

【題目】已知：在平面直角坐標系中，點和點分別在軸和軸的正半軸上，的平分線與正比例函數(shù)交于點，且與相交于點，在軸負半軸上有一點.

（1）如圖1，求證：；

（2）如圖2，過點作，垂足為，連接，求證：；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點作，垂足為點，交于點，連接，若，，求直線的解析式.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，通過角的運算得出；

（2）如圖所示作輔助線，根據(jù)已知條件，得出四邊形為正方形，再根據(jù)角平分線的定義及全等三角形的性質(zhì)得出；

（3）如圖所示作輔助線，通過輔助線及等量代換，得出，進而得出為等腰直角三角形，得出，再通過，設(shè)出未知數(shù)，表達出，根據(jù)已知條件及勾股定理，列出方程，解出A，B坐標，進而求出一次函數(shù)的解析式.

（1）如圖1，∵平分

∴

∵正比例函數(shù)的圖象是直線

∴

∵

∴

∵

∴

∴

（2）如圖2，過點作，垂足為點，過點作，垂足為點.

∵

∴

∴四邊形為矩形

∵

∴

∴

∴四邊形為正方形

∴

∵是的角平分線

∴

∵

∴

∵，

∴

∴

∵，

∴

∴

∵

∴

（3）如圖3，延長到點，由（2）問可得平分，

∵平分

∴由（1）問的方法可得

∵

∴為等腰直角三角形

即

過點作交于點，

∵，，

∴

∵，，

∴

∴

∴，

即為等腰直角三角形

∴

∵

∴

∵，，

∴設(shè)，

∴，，，，

∵，

∴

由（2）可知

設(shè)，則，即，

在中

∴

即，

設(shè)直線的解析式為

解得，.