Question

如圖1，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸的交點為C，頂點為D，直線CD與x軸的交點為E，解析式為y=-x-3，線段CD的長為．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖2，F(xiàn)是y軸上一點，且AF∥CD，在拋物線上是否存在點P，使經(jīng)過P點的直線恰好將四邊形AECF的周長和面積同時平分？如果存在，請求出P點的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．
（3）將（2）中的△AOF繞平面內(nèi)某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得△MQN （點M，Q，N分別與點A，O，F(xiàn)對應(yīng)），使點M，N在拋物線上，則點M，N的坐標(biāo)分別為M______，N______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)求出拋物線與y軸的交點C，頂點D的坐標(biāo)，由頂點式可得拋物線的解析式；
（2）作OH⊥CE，交AF于點G，交CE于H，取GH的中點M，求出BM的解析式，找到此解析式與拋物線的另一個交點，即為所求；
（3）找到△AOF繞平面內(nèi)某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得△MQN，M，N在拋物線上，求出與AF垂直的點M，N的坐標(biāo)即可．
解答：解：（1）作DW⊥x軸，CW⊥y軸交于W點．
CW=•cos∠DCW=1．DW=•sin∠DCW=1．
∴C點坐標(biāo)為（0，-3），D點坐標(biāo)為（1，-4），
由頂點式可得拋物線的解析式為：y=x²-2x-3；（2分）


（2）作OH⊥CE，交AF于點G，交CE于H，取GH的中點M，
根據(jù)二次函數(shù)解析式可得：A（-1，0），
由直線CD的解析式可知：E（（-3，0），
∵C（-3，0），
∴∠AEH=45°，
∴△OEH是等腰三角形，
∵OH⊥EC，
∴H點的坐標(biāo)是（-1.5，-1.5）
∵AF∥CD，
∴∠OAF=45°，
∴G（-0.5，-0.5），
∵M(jìn)是GH的中點，
∴M（-1，-1），求出BM的解析式y(tǒng)=x-，
此解析式與拋物線的一個交點就是要求的P（-，-）．（3分）

（3）△AOF繞平面內(nèi)某點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得△MQN，
則直線MN的解析式為y=x+b，
∵M(jìn)N=AF，
∴M（1，-4），N（2，-3）．（4分）
點評：本題考查了函數(shù)綜合知識，函數(shù)綜合題是初中數(shù)學(xué)中覆蓋面最廣、綜合性最強的題型．近幾年的中考壓軸題多以函數(shù)綜合題的形式出現(xiàn)．解決函數(shù)綜合題的過程就是轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、方程思想的應(yīng)用過程．