Question

15．已知關(guān)于x的方程x²-（k+1）x+2（k-1）=0
（1）求證：無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a=4，另兩邊b，c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△=（k-3）²≥0，由此即可證出無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）分b=c與b≠c兩種情況考慮，當(dāng)b=c時(shí)，利用△=（k-3）²=0可求出k值，將k值代入原方程求出b、c的值，利用三角形三邊關(guān)系可得知此情況不符合題意；當(dāng)b≠c時(shí)，將x=4代入原方程求出k值，將k值代入原方程求出b、c的值，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：△=[-（k+1）]²-4×1×2（k-1）=k²+2k+1-8k+8=k²-6k+9=（k-3）²，
∵（k-3）²≥0，即△≥0，
∴無(wú)論k取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)b=c時(shí)，△=（k-3）²=0，
解得：k=3，
此時(shí)原方程為x²-4x+4=0，
解得：b=c=2．
∵2+2=4，即b+c=a，
∴2、2、4不能組成三角形；
當(dāng)b≠c時(shí)，將x=4代入原方程得16-4（k+1）+2（k-1）=0，
解得：k=5，
此時(shí)原方程為x²-6x+8=（x-2）（x-4）=0，
解得：x₁=2，x₂=4．
∵2+4＞4，
∴2、4、4能組成等腰三角形，
∴△ABC的周長(zhǎng)=4+4+2=10．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根的判別式、三角形的三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）找出根的判別式△=（k-3）²≥0；（2）分b=c與b≠c兩種情況考慮求出方程的解．