Question

10．如圖，拋物線L：y=ax²+bx+c與x軸交于A、B（3，0）兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C（0，3），已知對(duì)稱軸x=1
（1）求拋物線L的解析式；
（2）求拋物線上的點(diǎn)M在直線BC的上方，求點(diǎn)M到直線BC的距離的最大值；
（3）設(shè)點(diǎn)P是拋物線L對(duì)稱軸右側(cè)上一點(diǎn)，點(diǎn)Q在對(duì)稱軸上，是否存在以P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的△PBQ與△AOC相似？若存在，求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的對(duì)稱性可求得A（-1，0），設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入可求得a的值，從而可求得拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)M作MD⊥AB，交CD與點(diǎn)D，過點(diǎn)M作ME⊥CB，垂足為E．設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），先求得直線BC的解析式，然后可得到MD與x的函數(shù)關(guān)系式，依據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求得MD的最大值，從而可求得△BCM的最大值，然后依據(jù)三角形的面積公式可求得ME的最大值；
（3）連接DP，過點(diǎn)P作PE⊥QD，垂足為E，然后可證明點(diǎn)Q、P、B、D共圓，從而可證明∠PDQ=∠ACO或∠PDQ=∠CAO，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則PE=x-1，DE=-x²+2x+3．接下來，依據(jù)$\frac{EP}{ED}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{EP}{ED}$=3列出關(guān)于x的方程，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，B（3，0），
∴A（-1，0）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1）．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-3a=3，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3．
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：3k+3=0，解得：k=-1，
∴直線BC的解析式為y=-x+3．
如圖1所示：過點(diǎn)M作MD⊥AB，交CD與點(diǎn)D，過點(diǎn)M作ME⊥CB，垂足為E．

MD=-x²+2x+3-（-x+3）=-x²+3x．
所以當(dāng)x=$\frac{3}{2}$時(shí)，MD有最大值$\frac{9}{4}$．
在Rt△BCO中，依據(jù)勾股定理可知BC=3$\sqrt{2}$．
∴BC•EM=DM•OB，即3$\sqrt{2}$ME=$\frac{9}{4}$×3，解得ME=$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
所以M到BC的最大距離為$\frac{9\sqrt{2}}{8}$．
（3）如圖3所示：連接DP，過點(diǎn)P作PE⊥QD，垂足為E．

∵∠QPB=∠QDB=90°，
∴∠QPB+∠QDB=180°．
∴點(diǎn)Q、P、B、D共圓．
∴∠PBQ=∠PBQ．
∵以P點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的△PBQ與△AOC相似，
∴∠PBQ=∠ACO或∠PBQ=∠CAO．
∴∠PDQ=∠ACO或∠PDQ=∠CAO．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-x²+2x+3），則PE=x-1，DE=-x²+2x+3．
∵當(dāng)∠PDQ=∠ACO時(shí)，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{EP}{ED}$=$\frac{x-1}{-{x}^{2}+2x+3}$=$\frac{1}{3}$，解得：x=2或x=-3（舍去）
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）．
當(dāng)∠PDQ=∠CAO時(shí)，tan∠ACO=$\frac{AO}{OC}$=3，
∴$\frac{EP}{ED}$=$\frac{x-1}{-{x}^{2}+2x+3}$=3，解得：x=$\frac{5+\sqrt{145}}{6}$或x=$\frac{5-\sqrt{145}}{6}$（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{5+\sqrt{145}}{6}$，$\frac{\sqrt{145}-1}{18}$）．
同理：當(dāng)點(diǎn)P在第象限時(shí)，$\frac{EP}{ED}$=3或$\frac{EP}{ED}$=$\frac{1}{3}$．
當(dāng)$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x-3}$=3時(shí)，解得：x=$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$
∴P的坐標(biāo)為（$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$，-$\frac{\sqrt{145}+1}{18}$）．
當(dāng)$\frac{x-1}{{x}^{2}-2x-3}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，解得x=0（舍去）或x=5．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-12）．
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（$\frac{5+5\sqrt{5}}{6}$，$\frac{5\sqrt{5}-1}{18}$或（5，-12）或（$\frac{7+\sqrt{145}}{6}$，-$\frac{\sqrt{145}+1}{18}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，用含x的式子表示出相關(guān)線段的長度是解題的關(guān)鍵．