Question

【問題提出】如圖①，已知海島A到海岸公路BD的距離為AB，C為公路BD上的酒店，從海島A到酒店C，先乘船到登陸點D，船速為a，再乘汽車，車速為船速的n倍，點D選在何處時，所用時間最短？
【特例分析】若n=2，則時間t=

AD

a

+

CD

2a

，當(dāng)a為定值時，問題轉(zhuǎn)化為：在BC上確定一點D，使得AD+

CD

2

的值最小．如圖②，過點C做射線CM，使得∠BCM=30°．
（1）過點D作DE⊥CM，垂足為E，試說明：DE=

CD

2

；
（2）請在圖②中畫出所用時間最短的登陸點D′，并說明理由．
【問題解決】
（3）請你仿照“特例分析”中的相關(guān)步驟，解決圖①中的問題（寫出具體方案，如相關(guān)圖形呈現(xiàn)、圖形中角所滿足的條件、作圖的方法等）．
【模型運用】
（4）如圖③，海面上一標(biāo)志A到海岸BC的距離AB=300m，BC=300m．救生員在C點處發(fā)現(xiàn)標(biāo)志A處有人求救，
立刻前去營救，若救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，求救生員從C點出發(fā)到
達A處的最短時間．

Answer 1

考點：解直角三角形的應(yīng)用

專題：

分析：（1）利用在Rt△BCM中，DE=CD•sin30°，進而求出即可；
（2）首先過點A作AE⊥CM交CB于點D'，則D'點即為所用時間最短的登陸點，由第（1）問可知，D'E'=

CD′

2

，AD'+

CD′

2

最短，即為AD'+D'E′最短；
（3）首先過點C做射線CM，使得sin∠BCM=

1

n

，進而求出D點位置；
（4）由救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，得出sin∠BCM=

1

3

，可得sin∠DAB=

1

3

，進而得出時間．

解答：解：（1）如圖①，
∵DE⊥CM，∴∠DEC=90°，
∴在Rt△BCM中，DE=CD•sin30°，
∴DE=

CD

2

．

（2）如圖①過點A作AE⊥CM交CB于點D'，則D'點即為所用時間最短的登陸點．
理由如下：由第（1）問可知，D'E'=

CD′

2

．
AD'+

CD′

2

最短，即為AD'+D'E′最短．
由直線外一點與這條直線上點的所有連線段中，垂線段最短．
可知此時D'點即為所求．

（3）如圖②，
過點C做射線CM，使得sin∠BCM=

1

n

，
過點A作AE⊥CM，垂足為E，交CB于點D，則D即為所用時間最短的登陸點．

（4）∵救生員在岸上跑的速度都是6m/s，在海中游泳的速度都是2m/s，
∴此時sin∠BCM=

1

3

，可得sin∠DAB=

1

3

，
∴在Rt△ADB中，AB=300，
AD=225

2

，DB=75

2

，CD=300-75

2

．
∴時間為 

300-75 2

6

+

225 2

2

=（50+100

2

）s．

點評：此題主要考查了解直角三角形以及銳角三角函數(shù)應(yīng)用，根據(jù)題意得出sin∠BCM的值是解題關(guān)鍵．