Question

9．如圖，已知△ABC，BC=5，AB=4，分別以AB、BC、CA為邊向外作正方形，則圖中陰影部分的面積之和的最大值是30．

Answer 1

分析 把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH′，然后判斷出A、C、H′三點(diǎn)共線，再根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可得S_△BCH′=S_△ABC，即S_△CFH=S_△ABC，同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，從而得到陰影部分的面積的和=3S_△ABC，再根據(jù)三角形的面積公式，當(dāng)AB⊥BC時(shí)，面積最大列式計(jì)算即可得解．

解答 解：如圖，把△CFH繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCH′，
∵Ⅱ表示正方形，
∴AC=CH=CH′，∠ACH+∠BCH′=360°-90°×2=180°，
∴A、C、H′三點(diǎn)共線，
∴S_△BCH′=S_△ABC，
∴S_△CFH=S_△ABC，
同理可得S_△BDG=S_△ABC，S_△AEM=S_△ABC，
∴陰影部分的面積的和=3S_△ABC，
∵BC=5，AB=4，
∴當(dāng)AB⊥BC時(shí)，△ABC的面積最大，最大值為S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×4×5=10，
∴三個(gè)陰影部分的面積之和的最大值為3×10=30．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作輔助線判斷出每一個(gè)陰影部分的面積等于△ABC的面積是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．