Question

2．如圖，矩形ABCD中，AB=6，∠ACB=30°，Rt△EFG中，∠E=90°，EG=5，GF=10，點(diǎn)E在AD上時(shí)，將Rt△EFG繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°）得到E₁F₁G₁．設(shè)直線E₁F₁交直線AD于點(diǎn)M，直線E₁F₁交直線AC于點(diǎn)N，當(dāng)AM=AN時(shí)，求MA的值．

Answer 1

分析 如圖，作CH⊥MN于H，首先求出CF的長，再證明∠HCN=15°，在圖1中，取CK=KN，設(shè)CK=KN=x，列出方程求出x，再利用勾股定理求出CN即可解決問題．

解答 解：如圖，作CH⊥MN于H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90°，
∴∠ACB=∠CAD=30°，
在RT△ABC中，∵∠B=90°，∠ACB=30°，AB=6，
∴AC=2AB=12，
在RT△EGF中，∵∠GEF=90°，EG=5，GF=10，
∴GF=2EG，
∴∠EFG=30°，∠EGF=60°，
∵∠EGF=∠CAD+∠AEG，
∴∠GAE=∠GEA=30°，
∴GA=GE=5，GC=7，CF=3，
在RT△CHF₁中，∵∠CHF₁=90°，CF₁=3，∠F₁=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CF₁=$\frac{3}{2}$，
在RT△CHN中，∵∠CNH=∠AMN=$\frac{1}{2}（180°-30°）$=75°，
∴∠HCN=15°，
如圖1中，在RT△CHN中，取CK=KN，設(shè)CK=KN=x，
∴∠KCN=∠KNC=15°，
∴∠HKN=30°，
∴HN=$\frac{1}{2}$x，KH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴CK+KH=CH，
∴x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{3}{2}$，
∴x=6-3$\sqrt{3}$，
∴CN=$\sqrt{C{H}^{2}+N{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\frac{6-3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）．
∴AM=AN=AC+CN=12+$\frac{3}{2}$（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）=12+$\frac{3}{2}$$\sqrt{6}$-$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、勾股定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確畫出圖形，發(fā)現(xiàn)∠HCN=15°是解題的突破口，學(xué)會(huì)添加輔助線把15°轉(zhuǎn)化為30°，學(xué)會(huì)利用方程的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．