Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D為弧BC的中點，弦DE⊥AB于F，延長CD交AB的延長線于G，且BG=DE，則以下結論：①BG=BC；②F為AG的中點，其中正確的結論是（　�。�

A．①②都正確

B．①②都錯誤

C．只有①正確

D．只有②正確

Answer 1

分析：兩選項都正確，理由為：由DE垂直于AB，利用垂徑定理得到B為弧ED的中點，得到弧BD與弧BE相等，再由D為弧BC的中點，得到弧CD與弧BD相等，等量代換得到弧BC與弧DE相等，等弧對等弦，得到BC=DE，而DE=BG，等量代換得到BG=BC；由BG=BC，等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，等量代換再利用等角對等邊得到DA=DG，由DF垂直于AG，利用三線合一得到F為AG的中點．

解答：解：∵DE⊥AB，
∴B為弧DE的中點，即

BD

=

EB

，
∵D為弧BC的中點，∴

BD

=

CD

，
∴

BC

=

DE

，
∴BC=DE，又BG=DE，
∴BC=BG，故選項①正確；
連接AD，如圖所示：

∵∠A與∠BCD都對弧BD，
∴∠A=∠BCD，
又BC=BG，∴∠G=∠BCD，
∴∠A=∠BCD，
∴DA=DG，又DF⊥AG，
則F為AG的中點，故選項②正確，
故選A

點評：此題考查了垂徑定理，圓周角定理，以及等腰三角形的判定與性質，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．