Question

3．我們曾經(jīng)通過列表、畫圖象，研究了函數(shù)y=ax²（a≠0）的性質(zhì)，知道它的圖象是一條拋物線，通過圖象還研究了它的相關(guān)性質(zhì)；經(jīng)過平移函數(shù)y=ax²（a≠0）的圖象還可得到函數(shù)y=a（x-h）²+k，（a≠0）的圖象．用類似的方法還可研究其他函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．
下面請你通過類比，嘗試研究一下函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x³的性質(zhì)：
（1）完成下表：

x	…	-2	-1		0		1	2	…
y	…				0			4	…

（2）在所給坐標系中作出函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x³的圖象；
（3）觀察你畫的函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x³的圖象，回答下列問題：
①函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x³圖象的對稱性下列說法正確的是C．
A．關(guān)于x軸對稱  B．關(guān)于y軸對稱
C．關(guān)于原點對稱  D．既不是軸對稱也不是中心對稱
②隨x的增大，y有怎樣的變化？
③y是否有最大或最小值？
④將函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x³的圖象向左平移一個單位，再向上平移兩個單位．可得到怎樣的函數(shù)表達式，請直接將你的猜想寫出來？

Answer 1

分析 （1）利用已知函數(shù)解析式進而計算得出答案；
（2）利用（1）中所求數(shù)據(jù)描點連線即可；
（3）①利用函數(shù)圖象即可得出對稱性；
②利用函數(shù)圖象得出增減性；
③利用函數(shù)圖象得出有沒有最值；
④利用函數(shù)平移的性質(zhì)，左加右減，上加下減即可得出答案．

解答 解：（1）填表如下：

x	…	-2	-1	-$\frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	2	…
y	…	-4	-$\frac{1}{2}$	-$\frac{1}{16}$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{2}$	4	…

（2）函數(shù)$y=\frac{1}{2}{x^3}$的圖象如圖；

（3）①如圖所示：函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x³圖象關(guān)于原點對稱，
故答案為：C；

②如圖所示：y隨x的增大而增大；

③如圖所示：y既沒有最大值也沒有最小值；

④將函數(shù)$y=\frac{1}{2}{x^3}$的圖象向左平移一個單位，再向上平移兩個單位可得到：$y=\frac{1}{2}{（{x+1}）^3}+2$．

點評 此題主要考查了函數(shù)問題綜合以及函數(shù)增減性以及其對稱性、最值平移規(guī)律等知識，結(jié)合已知函數(shù)解析式畫出圖象是解題關(guān)鍵．