Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，與y軸交于點D，已知OA=

10

，點B的坐標為（m，-2），tan∠AOC=

1

3

．
（1）求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式；
（2）求三角形ABO的面積；
（3）在y軸上存在一點P，使△PDC與△CDO相似，求P點的坐標．

Answer 1

（1）過A作AE⊥x軸于E，
tan∠AOE=

1

3

，
∴OE=3AE，
∵OA=

10

，由勾股定理得：OE²+AE²=10，
解得：AE=1，OE=3，
∴A的坐標為（3，1），
∵A點在雙曲線上y=

k

x

上，
∴1=

k

3

，
∴k=3，
∴雙曲線的解析式y(tǒng)=

3

x

；
∵B（m，-2）在雙曲y=

3

x

上，
∴-2=

3

m

，
解得：m=-

3

2

，
∴B的坐標是（-

3

2

，-2），
代入一次函數(shù)的解析式得：

3a+b=1 - 3 2 a+b=-2

，
解得：

a= 2 3 b=-1

，
則一次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x-1；

（2）連接BO，
∵一次函數(shù)的解析式為：y=

2

3

x-1；
∴D（0，-1），
∴S_△AOB=S_△AOD+S_△BOD=

1

2

×DO×3+

1

2

×DO×

3

2

=

1

2

×1×3+

1

2

×1×

3

2

=

9

4

；

（3）過點C作CP⊥AB，交y軸于點P，
∵C，D兩點在直線y=

2

3

x-1上，
∴C，D的坐標分別是：C（

3

2

，0），D（0，-1）．
即：OC=

3

2

，OD=1，
∴DC=

13

2

．
∵△PDC∽△CDO，
∴

PD

DC

=

DC

DO

，
∴PD=

DC2

OD

，
又∵OP=DP-OD=

13

4

-1=

9

4

，
∴P點坐標為（0，

9

4

）．