Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC＜60°，把線段BC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至BP；如圖所示位置有∠ABQ=60°，∠BCQ=150°．

（1）若∠BAC=30°，則∠ABP=       度；若∠BAC=α，則∠ABP=           （用α表示）；

（2）求證：△ABQ為等邊三角形；

（3）四邊形CBPQ的面積為1，求△ABC的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）15，；（2）證明見解析；（3）1.

【解析】

試題分析：（1）若∠BAC=30°，一方面在△ABC中，AB=AC，可得∠ABC=75°，另一方面由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知∠CBP=60°，因而∠ABP=15°；若∠BAC=α，同上可得，因而由∠BAC＜60°可得，所以；（2）連接CP，AP，由已知和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，通過證明△ABP≌△ACP（SSS）和△ABP≌△QBC（ASA）來證明△ABQ為等邊三角形；（3）通過轉(zhuǎn)換，可得.

試題解析：（1）15；.

（2）如圖，連接CP，AP，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知BC=BP，∠CBP=60°，∴△BCP為等邊三角形. ∴BP=CP，∠BPC=60°.

在△ABP和△ACP中，∵，∴△ABP≌△ACP（SSS）. ∴.

又∵∠BCQ=150°，∴ .

在△ABP和△QBC中，∵，∴△ABP≌△QBC（ASA）. ∴BA=BQ.

∴△ABQ為等邊三角形.

（3）如圖，過點A作AH⊥BP交BP的延長線于點H，則

由（2）得，∴. ∴.

由（2）△ABQ為等邊三角形得，∴. ∴.

由（2）得，∴.

又∵，∴.

考點：1. 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.等腰三角形的性質(zhì)；3.三角形內(nèi)角和定理；4.等邊三角形的判定和性質(zhì)；5.全等三角形的判定和性質(zhì)；6.轉(zhuǎn)換思想的應用.