Question

9．設(shè)x、y為不同的正整數(shù)．滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{13}$，則x^y+y^x的末兩位數(shù)字為（　�。�

• A． 74
• B． 84
• C． 75
• D． 85

Answer 1

分析 先根據(jù)x、y為不同的正整數(shù)，且滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{13}$，求出x=7，y=91，則x^y+y^x=7⁹¹+91⁷，再分別確定7⁹¹與91⁷的末兩位數(shù)字，然后相加即可．

解答 解：將方程$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{2}{13}$兩邊同乘13xy，得13（x+y）=2xy，
∵x、y為不同的正整數(shù)，不妨設(shè)y=13t（t為正整數(shù)），則x+13t=2xt，
∴t=$\frac{x}{2x-13}$=$\frac{1}{2-\frac{13}{x}}$，
∵t為正整數(shù)，
∴1＞2-$\frac{13}{x}$＞0，
解得6.5＜x＜13，
∵x為正整數(shù)，
∴x=7，8，9，10，11，12，
當(dāng)x=7時，t=$\frac{7}{2×7-13}$=7，y=13×7=91，
當(dāng)x=8，9，10，11，12時，t的值均為分?jǐn)?shù)，不合題意，舍去，
∴x=7，y=91，
∴x^y+y^x=7⁹¹+91⁷．
∵7¹=7，7²=49，7³=343，7⁴=2401，
7⁵=16807，7⁶=117649，7⁷=823543，7⁸=5764801，
…
∴7ⁿ（n為正整數(shù)）的末兩位數(shù)字以四個數(shù)字為一個周期依次循環(huán)：07，49，43，01，
∵91÷4=22…3，
∴7⁹¹的末兩位數(shù)字是43，
∵91⁷的末兩位數(shù)字是31，
∴7⁹¹+91⁷的末兩位數(shù)字是43+31=74．
故選A．

點評 本題考查了尾數(shù)特征，數(shù)字的變化規(guī)律，代數(shù)式的恒等變形能力，不等式組的解法，能夠根據(jù)條件求出x、y的值是解題的關(guān)鍵．