Question

在△ABC中，點(diǎn)D在AC上，點(diǎn)E在BC上，且DE∥AB，將△CDE繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△CD′E′（使∠BCE′< 180°），連接AD′、BE′，設(shè)直線BE′與AC交于點(diǎn)O。
（1）如圖（1），當(dāng)AC=BC時(shí)，AD′：BE′的值為____；
（2）如圖（2），當(dāng)AC=5，BC=4時(shí)，求AD′：BE′的值；
（3）在（2）的條件下，若∠ACB=60°，且E為BC的中點(diǎn)，求△OAB面積的最小值。

Answer 1

解：（1）1； （2）∵DE∥AB， ∴ △CDE∽△CAB， ∴ 由旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)得，EC=E′C，DC=D′C， ∴  ∵∠ECD=∠E′CD′， ∴∠ECD+∠ACE′=∠ E′CD′+∠ACE′，即∠BCE′=∠ACD′ ∴△BCE′∽△ACD′ ∴； （3）作BM⊥AC于點(diǎn)M，則BM=BC·sin60°， ∵為BC中點(diǎn)， ∴CE=BC=2， △CDE旋轉(zhuǎn)時(shí)，點(diǎn)E′在以點(diǎn)C為圓心、CE長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng) ∵CO隨著∠CBE′的增大而增大， ∴當(dāng)BE′與⊙C相切時(shí)，即∠BE′C=90°時(shí)最大，則CO最大， ∴此時(shí)∠CBE′=30°，CE′=BC=2=CE ∴點(diǎn)E′在AC上，即點(diǎn)E′與點(diǎn)O重合， ∴CO=CE′=2， 又∵CO最大時(shí)，AO最小，且AO=AC-CO=3， ∴S△OAB最小=AO · BM=3。