Question

18．如圖，螺旋形是由一系列直角三角形組成的，其中OA=OA₁=A₁A₂=…=A_n-1A_n=1．AA_n表示直角三角形的斜邊，S_n表示第n個三角形的面積．則：
（1）AA₁₀=$\sqrt{11}$；
（2）S_n=$\frac{1}{2}\sqrt{n}$（用含n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）反復利用勾股定理計算出AA₁至AA₁₀這10條斜邊的長即可；
（2）根據(jù)第n個直角三角形的直角邊是1和$\sqrt{n}$，即可求出結果．

解答 解：（1）OA=OA₁=A₁A₂=A₂A₃=A₃A₄=…=A₈A₉=1，
圖中所示三角形全部是直角三角形，
根據(jù)勾股定理得：
AA₁=$\sqrt{2}$，AA₂=$\sqrt{3}$，AA₃=$\sqrt{4}$=2，AA₄=$\sqrt{5}$，AA₅=$\sqrt{6}$，AA₆=$\sqrt{7}$，AA₇=$\sqrt{8}$=2$\sqrt{2}$，AA₈=$\sqrt{9}$=3，AA₉=$\sqrt{10}$，AA₁₀=$\sqrt{11}$；
（2）由（1）得：第n個直角三角形的直角邊是1和$\sqrt{n}$，
則第n個三角形的面積S_n=$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{n}$=$\frac{1}{2}\sqrt{n}$．

點評 本題考查了勾股定理的應用；熟練掌握在一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解決問題的關鍵．