Question

在一次科技活動(dòng)中，小明進(jìn)行了模擬雷達(dá)雪描實(shí)驗(yàn).如圖，表盤(pán)是△ABC，其中AB=AC，∠BAC=120°，在點(diǎn)A處有一束紅外光線AP，從AB開(kāi)始，繞點(diǎn)A逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，每秒鐘旋轉(zhuǎn)15°，到達(dá)AC后立即以相同的旋轉(zhuǎn)速度返回A、B，到達(dá)后立即重復(fù)上述旋轉(zhuǎn)過(guò)程.小明通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，光線從AB處開(kāi)始旋轉(zhuǎn)計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)1秒， 時(shí)光線AP交BC于點(diǎn)M，BM的長(zhǎng)為（）cm.

（1）求AB的長(zhǎng)；

（2）從AB處旋轉(zhuǎn)開(kāi)始計(jì)時(shí)，若旋轉(zhuǎn)6秒，此時(shí)AP與BC邊交點(diǎn)在什么位置？若旋轉(zhuǎn)2014秒，此時(shí)AP與BC邊交點(diǎn)在什么位置？并說(shuō)明理由.

 

 

Answer 1

（1）AB的長(zhǎng)為40cm；

（2）光線AP旋轉(zhuǎn)6秒，與BC的交點(diǎn)距點(diǎn)Bcm處，光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的交點(diǎn)在距點(diǎn)Bcm處．

【解析】

試題分析：（1）過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D．令A(yù)B=2tcm．在Rt△ABD中，根據(jù)三角函數(shù)可得AD=t，BD=t．在Rt∠AMD中，MD=AD=t．由BM=BD-MD，得到關(guān)于t的方程，求得t的值，從而求得AB的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)光線旋轉(zhuǎn)6秒，設(shè)AP交BC于點(diǎn)N，在Rt△ABN中，根據(jù)三角函數(shù)可得BN；設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點(diǎn)為Q．求得CQ=80，BC=40．根據(jù)BQ=BC-CQ即可求解．

試題解析：（1）如圖1，過(guò)A點(diǎn)作AD⊥BC，垂足為D．

因?yàn)?/span>∠BAC=120°，AB=AC，

所以∠ABC=∠C=30°．

令A(yù)B=2tcm．

在Rt△ABD中，AD=AB=t，BD=AB=t．

在Rt∠AMD中，因?yàn)?/span>∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°，

所以MD=AD=t．

因?yàn)锽M=BD-MD．即

=t -t．

解得t=20．

所以AB=2×20=40cm．

答：AB的長(zhǎng)為40cm；

（2）如圖2，當(dāng)光線旋轉(zhuǎn)6秒，

設(shè)AP交BC于點(diǎn)N，此時(shí)∠BAN=15°×6=90°．

在Rt△ABN中，BN==．

所以光線AP旋轉(zhuǎn)6秒，與BC的交點(diǎn)N距點(diǎn)Bcm處．

如圖3，設(shè)光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后光線與BC的交點(diǎn)為Q．

由題意可知，光線從邊AB開(kāi)始到第一次回到AB處需8×2=16秒，

而2014=125×16+14，即AP旋轉(zhuǎn)2014秒與旋轉(zhuǎn)14秒時(shí)和BC的交點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)Q．

易求得CQ=，BC=40．

所以BQ=BC-CQ=40-=．

所以光線AP旋轉(zhuǎn)2014秒后，與BC的交點(diǎn)Q在距點(diǎn)Bcm處．

考點(diǎn)：直角三角形的應(yīng)用．