Question

1．如圖，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過直線y=x-4與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，此拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，拋物線的頂點(diǎn)為D．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)M為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，求△MBC周長(zhǎng)的最小值；
（3）若點(diǎn)P為x軸下方拋物線上的一點(diǎn)且不與點(diǎn)B重合，設(shè)△PAB的面積為S，求S的取值范圍，并直接寫出S為整數(shù)時(shí)，△PAB的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）令直線y=x-4的x、y分別為0可求得點(diǎn)B和A的坐標(biāo)，將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求得b、c的值，最后依據(jù)配方法可求得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）記AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，利用拋物線的對(duì)稱性可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知AM=CM，故此可知BM+CM=BM+MA，當(dāng)點(diǎn)A、B、M在同一條直線上時(shí)MB+CM由最小值，然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式分別求得BC與AB的長(zhǎng)，從而可求得△MBC周長(zhǎng)的最小值；
（3）如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x，交直線AB與點(diǎn)M．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x-4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x-4），可求得PF=x²-4x．接下來由S_△PAB=S_△PAF-S_△PFB，求得S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)x的范圍以及函數(shù)的增減性可確定出S的范圍以及符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)；如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x-4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x-4），PF=-x²+4x，由S_△PAB=S_△PAF+S_△PFB可求得S與x的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)x的范圍以及函數(shù)的增減性可確定出S的范圍以及符合條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）∵將y=0代入y=x-4得：x-4=0，解得：x=4，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
∵將x=0代入y=x-4得：y=-4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，-4）．
∵將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{16+4b+c=0}\end{array}\right.$，解得：c=-4，b=-3．
∴拋物線的解析式為y=x²-3x-4．
∴y=（x-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{25}{4}$．
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{4}$）．
（2）如圖1所示：記AB與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M．

∵點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線x=$\frac{3}{2}$，
∴CM=AM，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-1，0）．
∴MC+MB=AM+AC=AB．
∵BC的長(zhǎng)度不變，
∴當(dāng)MC+MB最短時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最�。�
∴當(dāng)點(diǎn)A、B、M在一條直線上時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)有最小值．
由兩點(diǎn)間的距離公式可知BC=$\sqrt{（-1-0）^{2}+（-4-0）^{2}}$=$\sqrt{17}$，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$．
∴△BCM的周長(zhǎng)=BC+CM+MB=CB+CM+MA=CB+AB=$\sqrt{17}$+4$\sqrt{2}$．
（3）①如圖2所示：當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，過點(diǎn)P作PE⊥x，交直線AB與點(diǎn)M．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x-4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x-4），PF=x²-3x-4-（x-4）=x²-4x．
∵S_△PAB=S_△PAF-S_△PFB=$\frac{1}{2}PF•OA$=2x²-8x．
∴S=2x²-8x（-1＜x＜0）．
∵x=-$\frac{2a}$=$\frac{8}{2×2}$=2，
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，S隨x的增大而減�。�
當(dāng)x=-1時(shí)，S=10，當(dāng)x=0時(shí)，S=0，
∴0＜S＜10，此時(shí)符合條件的點(diǎn)P有9個(gè)．
②如圖3所示：當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)時(shí)．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-3x-4），則點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，x-4），PF=x-4-（x²-3x-4）=-x²+4x．
∵S_△PAB=S_△PAF+S_△PFB=$\frac{1}{2}PF•OA$=-2x²+8x．
∴S=-2x²+8x（0＜x＜4）．
∵x=-$\frac{2a}$=-$\frac{8}{-2×2}$=2，
∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最大值，S的最大值=8，當(dāng)x=0或x=4時(shí)，S=0．
∴0＜S＜8，符合條件的點(diǎn)P有14個(gè)．
綜上所述：S的取值范圍是0＜S＜10，S為整數(shù)時(shí)，△PAB的共有23個(gè)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)、兩點(diǎn)間的距離公式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得S與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．