Question

6．如圖，直線y=$\frac{1}{2}$x-2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過A，B，C，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)D是線段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AC，交直線AC下方的拋物線于點(diǎn)E，EG⊥x軸于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F，請求出DF長的最大值；
（3）設(shè)拋物線對稱軸與x軸相交于點(diǎn)H，點(diǎn)P是射線CH上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABP是直角三角形時(shí)，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函數(shù)解析式求出A和C點(diǎn)坐標(biāo)，再設(shè)交點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）設(shè)E（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），則F（x，$\frac{1}{2}$x-2），則可表示出EF=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，再證明Rt△DEF∽Rt△OAC，利用相似比得到DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EF=-$\frac{\sqrt{5}}{10}$（x-2）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；
（3）先利用對稱性確定H（$\frac{3}{2}$，0），再利用待定系數(shù)法求出射線CH的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-2（x≥0），接著分類討論：當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，如圖2，設(shè)P（t，$\frac{4}{3}$t-2），利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出PB²=（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，PA²=（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，則根據(jù)勾股定理得到（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²+（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²=5²，然后解方程求出t即可得到此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)∠BAP′=90°時(shí)，如圖2，易得P′（4，$\frac{10}{3}$）．

解答 解：（1）∵當(dāng)y=0時(shí)，$\frac{1}{2}$x-2=0，解得x=4，
∴A（4，0），
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{1}{2}$x-2=-2，
∴C（0，-2），
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-4），
把C（0，-2）代入得a•1•（-4）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），即y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）在Rt△AOC中，AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
設(shè)E（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2），則F（x，$\frac{1}{2}$x-2），
∴EF=$\frac{1}{2}$x-2-（$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2）=-$\frac{1}{2}$x²+2x=-$\frac{1}{2}$（x-2）²+2，
∵DE⊥AC，EG⊥AB，
∴∠FDE=∠AGE=90°，
而∠AFG=∠EFD，
∴∠GAF=∠DEF，
∴Rt△DEF∽Rt△OAC，
∴DF：OC=EF：AC，即DF：2=EF：2$\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$EF=-$\frac{\sqrt{5}}{10}$（x-2）²+$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
當(dāng)x=2時(shí)，DF有最大值，最大值為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（3）∵A（4，0），B（-1，0），
∴H（$\frac{3}{2}$，0），
設(shè)直線CP的解析式為y=mx+n，
把C（0，-2），H（$\frac{3}{2}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{n=-2}\\{\frac{3}{2}m+n=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{4}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴射線CH的解析式為y=$\frac{4}{3}$x-2（x≥0），
當(dāng)∠BPA=90°時(shí)，如圖2，設(shè)P（t，$\frac{4}{3}$t-2），則PB²=（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，PA²=（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²，
∵PB²+PA²=AB²，
∴（t+1）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²+（t-4）²+（$\frac{4}{3}$t-2）²=5²，
整理得t²-3t=0，解得t₁=0，t₂=3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）或（3，2）；
當(dāng)∠BAP′=90°時(shí)，如圖2，則P′A⊥x軸，P′點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{4}{3}$x-2=$\frac{10}{3}$，則P′（4，$\frac{10}{3}$），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2）或（3，2）或（4，$\frac{10}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)運(yùn)用勾股定理和相似比計(jì)算線段的長；能運(yùn)用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問題．