Question

9．如圖，A，P，B，C是⊙O上的四點，且滿足∠BAC=∠APC=60°．
（1）問△ABC是否為等邊三角形？為什么？
（2）若⊙O的半徑OD⊥BC于點E，BC=8，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)圓周角定理得出∠ABC的度數(shù)，再直接根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進行解答即可；
（2）連接OB，由等邊三角形的性質(zhì)可知，∠OBD=30°，根據(jù)BC=8利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）△ABC是等邊三角形：
理由：
∵∠BAC=∠APC=60°，
又∵∠APC=∠ABC，
∴∠ABC=60°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC是等邊三角形；

（2）解：如圖，

連接OB，
∵△ABC為等邊三角形，⊙O為其外接圓，
∴O為△ABC的外心，
∴BO平分∠ABC，
∴∠OBD=30°，
∴OE=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，OB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，

點評 本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，垂徑定理，解直角三角形等知識，將各知識點有機結(jié)合，旨在考查同學(xué)們的綜合應(yīng)用能力．