Question

6．問題探索：
（1）如圖1，已知四邊形ABCD中，AB=a，BC=b，∠B=∠D=90°，求：
①對角線BD長度的最大值；②四邊形ABCD的最大面積；（用含有a，b的代數(shù)式表示）
（2）如圖2，四邊形ABCD是某市規(guī)劃用地示意圖，經(jīng)測量得到如下數(shù)據(jù)：AB=20cm，BC=30cm，∠B=120°，∠A+∠C=195°，請你用所學(xué)到的知識探索出它的最大面積，并說明理由．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

分析 （1）①由條件可知AC為直徑，可知BD長度的最大值為AC的長，可求得答案；②連接AC，求得AD²+CD²，利用不等式的性質(zhì)可求得AD•CD的最大值，從而可求得四邊形ABCD面積的最大值；
（2）連接AC，延長CB，過點A做AE⊥CB交CB的延長線于E，可先求得△ABC的面積，結(jié)合條件可求得∠D=45°，且A、C、D三點共圓，作AC、CD中垂線，交點即為圓心O，當點D與AC的距離最大時，三角形ACD的面積最大，AC的中垂線交圓O于點D'，交AC于F，F(xiàn)D'即為所求最大值，再求得
△ACD′的面積即可．

解答 解：（1）①因為∠B=∠D=90°，所以四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，
AC為圓的直徑，則BD長度的最大值為AC，此時BD=$\sqrt{{a^2}+{b^2}}$，
②如圖1，連接AC，則AC²=AB²+BC²=a²+b²=AD²+CD²，

∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD≤$\frac{1}{4}$（AD²+CD²）=$\frac{1}{4}$（a²+b²），
∴四邊形ABCD的最大面積=$\frac{1}{4}$（a²+b²）+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{4}$（a²+b²+2ab）；
（2）如圖2，連接AC，延長CB，過點A做AE⊥CB交CB的延長線于E，

∵AB=20，∠ABE=180°-∠ABC=60°，
∴AE=AB•sin60°=10$\sqrt{3}$，EB=AB•cos60°=10，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AE•BC=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×30=150$\sqrt{3}$，
∵BC=30，
∴EC=EB+BC=40，
∴AC=$\sqrt{A{E}^{2}+E{C}^{2}}$=10$\sqrt{19}$，
∵∠ABC=120°，∠BAD+∠BCD=195°，
∴∠D=45°，
在三角形ACD中，D角為定角，對邊AC為定邊，
∴A、C、D點在同一個圓上，
作AC、CD中垂線，交點即為圓心O，如圖，
當點D與AC的距離最大時，三角形ACD的面積最大，AC的中垂線交圓O于點D'，交AC于F，F(xiàn)D'即為所求最大值，
連接OA、OC，則∠AOC=2∠AD'C=90°，OA=OC，
∴△AOC，△AOF為等腰直角三角形，
∴AO=OD′=5$\sqrt{38}$，OF=AF=$\frac{1}{2}$AC=5$\sqrt{19}$，
∴D′F=OD′+OF=5$\sqrt{38}$+5$\sqrt{19}$，
∴S_△ACD′=$\frac{1}{2}$AC•D′F=$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{19}$×（5$\sqrt{38}$+5$\sqrt{19}$）=475$\sqrt{2}$+475，
∴四邊形ABCD面積的最大=S_△ABC+S_△ACD′=150$\sqrt{3}$+475$\sqrt{2}$+475．

點評 本題為圓的綜合應(yīng)用，涉及知識點有圓周角定理、不等式的性質(zhì)、解直角三角形及轉(zhuǎn)化思想等．在（1）中注意直徑是最長的弦，在（2）中確定出四邊形ABCD面積最大時D點的位置是解題的關(guān)鍵．本題考查知識點較多，綜合性很強，計算量很大，難度適中．