Question

如圖，△OAB是邊長為2的等邊三角形，過點(diǎn)A的直線y=-

3

3

x+m與x軸交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）求證：OA⊥AE．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得出OD=BD=1，再利用勾股定理得出AD的長，即可得出A點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出函數(shù)解析式；
（2）利用E點(diǎn)坐標(biāo)得出EO的長，進(jìn)而求出AE的長，再利用勾股定理逆定理得出答案．

解答：（1）解：過點(diǎn)A作AD⊥EO于點(diǎn)D，
∵△OAB是邊長為2的等邊三角形，
∴OD=DB=1，AB=AO=OB=2，
∴AD=

3

，
∴A（1，

3

），
將A點(diǎn)代入直線y=-

3

3

x+m得：

3

=-

3

3

+m，
解得：m=

4 3

3

，
故y=-

3

3

x+

4 3

3

，
則y=0時，x=4，
即E（4，0）；

（2）證明：∵AD=

3

，DE=EO-DO=3，
∴AE=

32+( 3 )2

=2

3

，
∵AO²+AE²=16，EO²=16，
∴AO²+AE²=EO²，
∴OA⊥AE．

點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理以及勾股定理逆定理和一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)，得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．