Question

如圖，?ABCD中，P是CD上的一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，過點P作PQ∥AD，交AB于點Q．下列結論不一定成立的是（　　）

A．AP⊥BP

B．AD=PD

C．△PBC是等邊三角形

D．點Q是AB的中點

Answer 1

分析：由?ABCD中，P是CD上的一點，且AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，易證得∠PAB+∠PBA=90°，即可得AP⊥BP；
由AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，過點P作PQ∥AD，易證得△ADP與△BCP以及△PAQ與△BPQ是等腰三角形，繼而可得B、D正確，C錯誤．

解答：解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵AP和BP分別平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=

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（∠DAB+∠CBA）=90°，
∴∠APB=90°，
即AP⊥BP；故正確；
B、∵AB∥CD，
∴∠DPA=∠PAQ，
∵∠DAP=∠PAQ，
∴∠DAP=∠DPA，
∴AD=PD，故正確；
C、同理：PC=BC，
當不能證得△PBC是等邊三角形．
故錯誤；
D、∵PQ∥AD，
∴∠APQ=∠DAP，
∵∠DAP=∠PAQ，
∴∠PAQ=∠APQ，
∴AQ=PQ，
同理：PQ=BQ，
∴AQ=BQ，
即Q是AB的中點，故正確．
故選C．

點評：此題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的判定與性質以及垂直的定義．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．