Question

如圖，已知OM⊥ON，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)A、B分別在射線OM，ON上滑動(dòng)，在滑動(dòng)過(guò)程中，連結(jié)OC，則OC的長(zhǎng)的最大值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等邊三角形的性質(zhì),直角三角形斜邊上的中線

專題：

分析：取AB的中點(diǎn)D，連接OD及DC，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系得到OC小于等于OD+DC，只有當(dāng)O、D及C共線時(shí)，OC取得最大值，最大值為OD+CD，由等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，根據(jù)D為AB中點(diǎn)，得到BD為1，根據(jù)三線合一得到CD垂直于AB，在直角三角形BCD中，根據(jù)勾股定理求出CD的長(zhǎng)，在直角三角形AOB中，OD為斜邊AB上的中線，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OD等于AB的一半，由AB的長(zhǎng)求出OD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出DC+OD，即為OC的最大值．

解答：解：取AB中點(diǎn)D，連OD，DC，OC，有OC≤OD+DC，
當(dāng)O、D、C共線時(shí)，OC有最大值，最大值是OD+CD，
∵△ABC為等邊三角形，D為中點(diǎn)，
∴BD=1，BC=2，根據(jù)勾股定理得：CD=

3

，
又∵△AOB為直角三角形，D為斜邊AB的中點(diǎn)，
∴OD

1

2

AB=1，
∴OD+CD=1+

3

，即OC的最大值為1+

3

．
故答案為：1+

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，其中找出OC最大時(shí)的長(zhǎng)為CD+OD是解本題的關(guān)鍵．