Question

13．如圖，在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，在A₁B上取一點(diǎn)B₁，延長(zhǎng)AA₁到A₂，使得A₁A₂=A₁B₁，連接A₂B₁，在A₂B₁上取一點(diǎn)B₂，延長(zhǎng)A₁A₂到A₃，使得A₂A₃=A₂B₂；…，按此作法進(jìn)行下去，∠A₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₅的度數(shù)為$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA₁A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠B₁A₂A₁，∠B₂A₃A₂及∠B₃A₄A₃的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出∠A₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₅的度數(shù)．

解答 解：∵在△ABA₁中，∠B=20°，AB=A₁B，
∴∠BA₁A=$\frac{180°-∠B}{2}$=80°，
∵A₁A₂=A₁B₁，∠BA₁A是△A₁A₂B₁的外角，
∴∠B₁A₂A₁=$\frac{∠B{A}_{1}A}{2}$=40°；
同理可得，
∠B₂A₃A₂=20°，∠B₃A₄A₃=10°，
∴∠A_n-1A_nB_n-1=$\frac{80°}{{2}^{n-1}}$，
∴∠A₂₀₁₅A₂₀₁₆B₂₀₁₅的度數(shù)為$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．
故答案為：$\frac{80°}{{2}^{2015}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠B₁C₂A₁，∠B₂A₃A₂及∠B₃A₄A₃的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．