Question

如圖，已知拋物線y=a（x-2）²+1與x軸從左到右依次交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），連接AC、BC．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若P為此拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PA、PB、PC，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)表示為m．
試探究：
①當(dāng)m為何值時(shí)，|PA-PC|的值最大？并求出這個(gè)最大值．
②在P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠APB能否與∠ACB相等？若能，請(qǐng)求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1，根據(jù)待定系數(shù)法可求拋物線的解析式；
（2）①由三角形的三邊關(guān)系可知，|PA-PC|＜AC，當(dāng)P、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，|PA-PC|的值最大，為AC的長(zhǎng)度，延長(zhǎng)CA交直線x=2于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．
求得A（1，0），C（0，-3），根據(jù)勾股定理可得AC的長(zhǎng)．根據(jù)待定系數(shù)法可求直線AC的解析式，進(jìn)一步得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而求解；
②設(shè)直線x=2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P₁，P₁ 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P₂，則P₁、P₂均為所求的點(diǎn)．在Rt△ADE中，由勾股定理得EA的長(zhǎng)，可得P₁（2，-2-

5

）．由對(duì)稱性得P₂（2，2+

5

）．

解答：解：（1）把B（3，0）代入y-a（x-2）²+1得a×（3-2）²+1=0，
解得：a=-1．
∴此拋物線的解析式為y=-（x-2）²+1=-x²+4x-3；
（2）①由三角形的三邊關(guān)系可知，|PA-PC|＜AC，
∴當(dāng)P、A、C三點(diǎn)共線時(shí)，|PA-PC|的值最大，為AC的長(zhǎng)度，
∴延長(zhǎng)CA交直線x=2于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為所求的點(diǎn)．
求得A（1，0），C（0，-3），
則有OA=1，OC=3，
∴AC=

OA2+OC2

=

10

．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0），則

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

．
∴直線AC的解析式為y=3x-3，
∵拋物線y=-x²+4x-3的對(duì)稱軸為直線x=2，
∴點(diǎn)P（2，m），
∴m=3×2-3=3，
∴當(dāng)m=3時(shí)，|PA-PC|的值最大，最大值為

10

．
②設(shè)直線x=2與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，作△ABC的外接圓⊙E與直線x=2位于x軸下方的部分的交點(diǎn)為P₁，P₁ 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P₂，則P₁、P₂均為所求的點(diǎn)．∵∠AP₁B、∠ACB都是弧AB所對(duì)的圓周角，
∴∠AP₁B=∠ACB，且射線DE 上的其它點(diǎn)P都不滿足∠APB=∠ACB．
∵圓心E必在AB邊的垂直平分線即直線x=2上．
∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為2．
又∵OB=OC=3，
∴圓心E也在BC邊的垂直平分線即直線y=-x上．
∴E（2，-2）．
在Rt△ADE中，DE=2，AD=

1

2

AB=

1

2

（OB-OA）=

1

2

（3-1）=1，
由勾股定理得EA=

AD2+DE2

=

12+22

=

5

，
∴EP₁=EA=

5

，
∴DP₁=DE+EP₁=2+

5

，
∴P₁（2，-2-

5

）．
由對(duì)稱性得P₂（2，2+

5

）．
∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（2，-2-

5

）、P₂（2，2+

5

）．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求拋物線的解析式，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，待定系數(shù)法求直線的解析式，外接圓的性質(zhì)，關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)的特征，以及對(duì)稱性．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．