Question

（9分）（2014•昆明）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P從A點出發(fā)，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點Q從B點出發(fā)，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，當△PBQ存在時，求運動多少秒使△PBQ的面積最大，最大面積是多少？

（3）當△PBQ的面積最大時，在BC下方的拋物線上存在點K，使S△CBK：S△PBQ=5：2，求K點坐標．

Answer 1

（1）y=x2﹣x﹣3

（2）運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

（3）K1（1，﹣），K2（3，﹣）

【解析】

試題分析：（1）把點A、B的坐標分別代入拋物線解析式，列出關于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；

（2）設運動時間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關系式S△PBQ=﹣（t﹣1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質進行解答；

（3）利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式為y=x﹣3．由二次函數(shù)圖象上點的坐標特征可設點K的坐標為（m，m2﹣m﹣3）．

如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．結合已知條件和（2）中的結果求得S△CBK=．則根據(jù)圖形得到：S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m），把相關線段的長度代入推知：﹣m2+3m=．易求得K1（1，﹣），K2（3，﹣）．

【解析】
（1）把點A（﹣2，0）、B（4，0）分別代入y=ax2+bx﹣3（a≠0），得

，

解得 ，

所以該拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣3；

（2）設運動時間為t秒，則AP=3t，BQ=t．

∴PB=6﹣3t．

由題意得，點C的坐標為（0，﹣3）．

在Rt△BOC中，BC==5．

如圖1，過點Q作QH⊥AB于點H．

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC，

∴=，即=，

∴HQ=t．

∴S△PBQ=PB•HQ=（6﹣3t）•t=﹣t2+t=﹣（t﹣1）2+．

當△PBQ存在時，0＜t＜2

∴當t=1時，

S△PBQ最大=．

答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是；

（3）設直線BC的解析式為y=kx+c（k≠0）．

把B（4，0），C（0，﹣3）代入，得

，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3．

∵點K在拋物線上．

∴設點K的坐標為（m，m2﹣m﹣3）．

如圖2，過點K作KE∥y軸，交BC于點E．則點E的坐標為（m，m﹣3）．

∴EK=m﹣3﹣（m2﹣m﹣3）=﹣m2+m．

當△PBQ的面積最大時，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=．

∴S△CBK=．

S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK•m+•EK•（4﹣m）

=×4•EK

=2（﹣m2+m）

=﹣m2+3m．

即：﹣m2+3m=．

解得 m1=1，m2=3．

∴K1（1，﹣），K2（3，﹣）．