Question

10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法）
①作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D；
②以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，交OD的延長線于點(diǎn)E．
（2）在（1）所作的圖形中，解答下列問題．
①點(diǎn)B與⊙O的位置關(guān)系是點(diǎn)B在⊙O上；（直接寫出答案）
②若DE=2，AC=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）先作AC的垂直平分線，然后作⊙O；
（2）①通過證明OB=OA來判斷點(diǎn)在⊙O上；
②設(shè)⊙O的半徑為r，在Rt△AOD中利用勾股定理得到r²=4²+（r-2）²，然后解方程求出r即可．

解答 解：（1）如圖所示；

（2）①連結(jié)OC，如圖，
∵OD垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠B=90°，∠OCB+∠ACO=90°，
∴∠B=∠OCB，
∴OC=OB，
∴OB=OA，
∴點(diǎn)B在⊙O上；
故答案為點(diǎn)B在⊙O上
②∵OD⊥AC，且點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，
∴AD=$\frac{1}{2}$AC=4，
設(shè)⊙O的半徑為r，
則OA=OE=r，OD=OE-DE=r-2，
在Rt△AOD中，∵OA²=AD²+OD²，
即r²=4²+（r-2）²，
解得r=5．
∴⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．