Question

如圖，等邊△ABC中，CD∥AB，P為邊BC上一點，Q為直線CD上一點，連接AP、PQ，使得∠APQ=∠BAC．
（1）①如圖1，探索∠PAC與∠PQC的數量關系并證明；②如圖1，求證：AP=PQ；
（2）如圖2，若將“等邊△ABC”改為“等腰直角△ABC（AB=AC）”，其他條件不變，求證：AP=PQ；
（3）如圖3，若繼續(xù)將“等腰直角△ABC”改為“等腰△ABC（AB=AC）”，其他條件不變，（2）中的結論是否正確？若正確，請你給出證明；若不正確，請你說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,等腰直角三角形

專題：

分析：（1）連接AQ，根據平行線性質和已知求出∠ACQ=∠APQ，推出A、P、C、Q四點共圓，推出∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC，求出∠PAQ=∠B，求出∠ACB=∠AQP推出∠PAQ=∠AQP即可．
（2）連接AQ，求出A、P、C、Q四點共圓，得出∠AQP=∠ACB=45°，即可得出∠PAQ=∠AQP，即可得出答案．
（3）連接AQ，根據四點共圓得出∠AQP=∠ACB=∠B，求出∠B=∠PAQ，推出∠PAQ=∠AQP即可．

解答：證明：（1）連接AQ，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACQ，
又∵∠APQ=∠BAC，
∴∠ACQ=∠APQ，
∴A、P、C、Q四點共圓，
∴∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC，
∴∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-∠BCQ，
∵CD∥AB，
∴∠B=180°-∠BCQ，
∴∠PAQ=∠B，
又∵∠APQ=∠BAC，
∴由三角形內角和定理得：∠ACB=∠AQP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴AP=PQ．

（2）連接AQ，
∵三角形ABC是等腰直角三角形，
∴∠BAC=90°，∠B=∠ACB=45°，
∵∠APQ=∠BAC=90°，
∵由（1）知：A、P、C、Q四點共圓，
∴∠PQA=∠ACB=45°，
∴∠PAQ=45°=∠PQA，
∴AP=PQ．

（3）連接AQ，
∵CD∥AB，
∴∠BAC=∠ACQ，
又∵∠APQ=∠BAC，
∴∠ACQ=∠APQ，
∴A、P、C、Q四點共圓，
∴∠AQP=∠ACB，∠PAC=∠PQC，∠QAC=∠QPC，
∴∠PAQ=∠PAC+∠QAC=∠PQC+∠QPC=180°-∠BCQ，
∵CD∥AB，
∴∠B=180°-∠BCQ，
∴∠PAQ=∠B，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠AQP，
∴∠PAQ=∠AQP，
∴AP=PQ．

點評：本題考查了等腰三角形性質和判定，圓內接四邊形的條件和性質的應用，主要考查學生的推理能力，證明過程類似．