Question

19．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關系式；
（2）設點P是直線l上的一個動點，當點P到點A、點B的距離之和最短時，求點P的坐標；
（3）點M也是直線l上的動點，且△MAC為等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

分析 （1）直接將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中求出待定系數(shù)即可；
（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據(jù)拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知，直線l與x軸的交點，即為符合條件的P點；
（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA=AC、②MA=MC、③AC=MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解．

解答 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，得：
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{9a+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
故拋物線的解析式：y=x²-2x-3．

（2）當P點在x軸上，P，A，B三點在一條直線上時，點P到點A、點B的距離之和最短，
此時x=-$\frac{2a}$=1，
故P（1，0）；

（3）如圖所示：拋物線的對稱軸為：x=-$\frac{2a}$=1，設M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，-3），則：
MA²=m²+4，MC²=（3+m）²+1=m²+6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，則MA²=MC²，得：
m²+4=m²+6m+10，解得：m=-1，
②若MA=AC，則MA²=AC²，得：
m²+4=10，得：m=±$\sqrt{6}$；
③若MC=AC，則MC²=AC²，得：
m²+6m+10=10，得：m₁=0，m₂=-6；
當m=-6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點，且坐標為 M（1，$\sqrt{6}$）（1，-$\sqrt{6}$）（1，-1）（1，0）．

點評 此題主要考查了二次函數(shù)綜合題涉及了拋物線的性質及解析式的確定、等腰三角形的判定等知識，在判定等腰三角形時，一定要根據(jù)不同的腰和底分類進行討論，以免漏解．