Question

10．探究一個問題：任意給定一矩形A，是否存在另一個矩形B，它的周長和面積分別是已知矩形A的周長和面積的一半．
（1）如果已知矩形A的邊長分別為2和1，請說明是否存在滿足要求的矩形B？
（2）如果已知矩形A的邊長分別是m和n，試研究m，n滿足什么條件時，矩形B存在？
（3）如圖，是一次函數和反比例函數的部分圖象，其中x和y分別表示矩形B的兩邊長，請你結合剛才的研究，回答下列問題：
①滿足條件的矩形A的兩邊長為5+$\sqrt{17}$和5-$\sqrt{17}$；
②滿足條件的矩形B的兩邊長為1和4．

Answer 1

分析 （1）假設存在，不妨設“減半”矩形的長為x、寬為y，根據如果存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形的周長和面積的一半，可列出方程組求解．
（2）設所求矩形的長為x、寬為y，將兩個函數關系式聯立后得到方程組，利用方程△≥0時，存在這樣的矩形即可．
（3）設周長為k，面積為S，由x和y分別表示矩形B的兩邊長，根據圖象求得周長k和面積S；
①設矩形A的長為m、寬n，根據題意列出方程組，即可求解，
②根據圖象即可求得．

解答 解：（1）不存在．
假設存在，不妨設矩形B的長為x、寬為y，
則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=\frac{3}{2}}\\{xy=1}\end{array}\right.$，
消元得：x²-$\frac{3}{2}$x+1=0，
b²-4ac=$\frac{9}{4}$-4＜0，
所以矩形B不存在；
（2）設所求矩形的長為x、寬為y，
∵已知矩形的長為m、寬是n，新矩形的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半，
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=\frac{mn}{2}}\\{x+y=\frac{m+n}{2}}\end{array}\right.$
消元得x²-$\frac{1}{2}$（m+n）x+$\frac{1}{2}$mn=0，
△=[$\frac{1}{2}$（m+n）]²-4×$\frac{1}{2}$mn≥0，即：m²+n²-8mn≥0，
∴當m²+n²-8mn≥0時，存在另一個矩形使它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的一半；
（3）設周長為k，面積為S，由x和y分別表示矩形B的兩邊長，
∴x+y=$\frac{k}{2}$，xy=2S，
∴y=-x+$\frac{k}{2}$，y=$\frac{2S}{4}$，
∵得（4，1）在函數y=-x+$\frac{k}{2}$和y=$\frac{2m}{x}$的圖象上，
∴1=-4+$\frac{k}{2}$，1=$\frac{2m}{4}$，
解得k=10，S=2，
∵B的周長和面積分別是已知矩形A的周長和面積的一半．
①設矩形A的長是m、寬是n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2（m+n）=20}\\{\frac{1}{2}mn=4}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=5+\sqrt{17}}\\{n=5-\sqrt{17}}\end{array}\right.$，
∴矩形A的兩邊長為5+$\sqrt{17}$和5-$\sqrt{17}$；
②由圖象可知滿足條件的矩形B的兩邊長為1和4．
故答案為5+$\sqrt{17}$，5-$\sqrt{17}$；1，4．

點評 本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象交點的意義，以及圖象的特點，試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．