Question

如圖所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)．
（1）如果P、Q同時(shí)出發(fā)，幾秒鐘后，可使△PCQ的面積為8cm²？
（2）若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC-CB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB-BA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)P在CB邊上，點(diǎn)Q在BA邊上，是否存在某一時(shí)刻，使得△PBQ的面積14.4cm²？

Answer 1

分析：（1）先設(shè)P、Q同時(shí)出發(fā)，x秒鐘后，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，此時(shí)△PCQ的面積為：

1

2

×2x（6-x），令△PCQ的面積為8cm²，由此等量關(guān)系列出方程求出符合題意的值；
（2）先過點(diǎn)Q作QD⊥BC，根據(jù)∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求出AB=10cm，

BQ

BA

=

QD

AC

，再根據(jù)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC-CB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB-BA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)，得出BP與BQ的值，即可求出QD，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案．

解答：解：（1）設(shè)xs后，可使△PCQ的面積為8cm²．
由題意得，AP=xcm，PC=（6-x）cm，CQ=2xcm，
則

1

2

•（6-xX）•2xx=8．
整理，得x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4．
所以P、Q同時(shí)出發(fā)，2s或4s后可使△PCQ的面積為8cm²．

（2）根據(jù)題意如圖；
過點(diǎn)Q作QD⊥BC，
∵∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=10cm，

BQ

BA

=

QD

AC

，
∵點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊AC-CB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿CB-BA邊向點(diǎn)A以2cm/s的速度移動(dòng)，
∴BP=（6+8）-t=（14-t）cm，
BQ=（2t-8）cm，
∴

2t-8

10

=

DQ

6

，
QD=

6t-24

5

，
∴S_△PBQ=

1

2

×BP•QD=

1

2

×（14-t）×

6t-24

5

=14.4，
解得：t₁=8，t₂=10（不符題意舍去）．
答：當(dāng)t=8秒時(shí)，△PBQ的面積是14.4cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，關(guān)鍵在于讀懂題意，找出之間的等量關(guān)系，列出方程求解．