Question

如圖，正三角形ABC的邊長為a，D是BC的中點(diǎn)，P是AC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB和PD得到
△PBD，△PBD的周長的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EP、EB、ED、EC，則PB+PD=PE+PD，因此ED的長就是PB+PD的最小值，再求出ED+BD的長即可．

解答：解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E，連接EP、EB、ED、EC，
則PB+PD=PE+PD，故ED的長就是PB+PD的最小值．
作FD⊥BE，垂足為F，
∵BC=a，
∴BD=

a

2

，BE=2

a2-( a 2 )2

=

3

a，
∵∠DBF=30°，
∴DF=

1

2

BD=

a

4

，BF=

BD2-DF2

=

3

4

a，DE=

EF2+DF2

=

( 3 a- 3 4 a)2+( a 4 )2

=

7

2

a，．
∴△PBD的周長的最小值=ED+BD=

7

2

a+

a

2

=

1+ 7

2

a．
故答案為：

1+ 7

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知“兩點(diǎn)之間，線段最短”是解答此題的關(guān)鍵．