Question

如圖，已知正方形ABCD，點E是邊AB的中點，點O是線段AE上的一個動點（不與A、E重合），以O為圓心，OB為半徑的圓與邊AD相交于點M，過點M作⊙O的切線交DC于點N，連接OM、ON、BM、BN．記△MNO、△AOM、△DMN的面積分別為S₁、S₂、S₃，則下列結論不一定成立的是（   ）

A．S₁＞S₂+S₃      B．△AOM∽△DMN      C．∠MBN=45°      D．MN=AM+CN

Answer 1

A．

【解析】（1）如答圖1，過點M作MP∥AO交ON于點P，∵點O是線段AE上的一個動點，

當AM=MD時，S_梯形ONDA=（OA+DN）•ADS_△MNO=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S_△MNO=S_梯形ONDA，∴S₁=S₂+S₃，∴不一定有S₁＞S₂+S₃. 故A不一定成立.

（2）∵MN是⊙O的切線，∴OM⊥MN，又∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°.∴∠AOM=∠DMN.

在△AMO和△DMN中，∵，∴△AMO∽△DMN．故B成立.

（3）如答圖2，過點B作BP⊥MN于點P，∵MN，BC是⊙O的切線，

∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB.∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB. ∴∠AMB=∠PMB.

在Rt△MAB和Rt△MPB中，∵，

∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）.∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC.

在Rt△BPN和Rt△BCN中，，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）.

∴PN=CN，∠PBN=∠CBN. ∴∠MBN=∠MBP+∠PBN.∴MN=MN+PN=AM+CN．故C，D成立.

綜上所述，A不一定成立.

故選A．