Question

12．如圖，已知在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點P．
（1）試比較∠A與∠BPC的大�。�
（2）當∠A=α時，求∠BPC的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）連接AP并延長至D，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，得出∠BPD+∠CPD＞∠BAP+∠CAP，即可得到∠A與∠BPC的大小關(guān)系；
（2）先根據(jù)∠A=α，∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，求得∠PBC+∠PCB的度數(shù)，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求得∠BPC的度數(shù)．

解答 解：（1）連接AP并延長至D，
∵∠BPD是△ABP的外角，
∴∠BPD＞∠BAP，
同理可得，∠CPD＞∠CAP，
∴∠BPD+∠CPD＞∠BAP+∠CAP，
∴∠BPC＞∠BAC；

（2）∵∠A=α，
∴∠ABC+∠ACB=180°-α，
∵∠ABC與∠ACB的角平分線相交于P，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×（180°-α），
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB）=180°-$\frac{1}{2}$×（180°-α）=90°+$\frac{1}{2}$α．

點評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理以及三角形外角性質(zhì)的綜合應用，解題時注意：三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．