Question

閱讀下列材料，并解決問題．
如圖1，在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，過A作 AD⊥BC于D，則sinB=

AD

c

，sinC=

AD

b

，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即

b

sinB

=

c

sinC

．同理有：

c

sinC

=

a

sinA

，

a

sinA

=

b

sinB

，所以

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

．即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．在銳角三角形中，若已知三個元素（至少有一條邊），運用上述結(jié)論就可以求出其余三個未知元素．
（1）如圖2，一貨輪在C處測得燈塔A在貨輪的北偏西30°的方向上，隨后貨輪以60海里/時的速度按北偏東30°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔A在貨輪的北偏西75°的方向上，求此時貨輪距燈塔A的距離AB．
（2）在（1）的條件下，試求75°的正弦值．（結(jié)果保留根號）

Answer 1

考點：解直角三角形的應用-方向角問題

專題：

分析：（1）此題可先由速度和時間求出BC的距離，再由各方向角得出∠A的角度，過B作BD⊥AC于D，求出∠DBC=30°，求出DC，由勾股定理求出BD，求出AD、BD的長，由勾股定理求出AB即可；
（2）在三角形ABC中，∠A=45，∠ABC=75，∠ACB=60，過點C作AC的垂線BD，構(gòu)造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的長，進而可求出sin75°的值．

解答：解：（1）如圖，
依題意：BC=60×0.5=30（海里）
∵CD∥BE，
∴∠DCB+∠CBE=180°
∵∠DCB=30°，
∴∠CBE=150°
∵∠ABE=75°．
∴∠ABC=75°，
∴∠A=45°，
在△ABC中，

AB

sin∠ACB

=

BC

sin∠A

，即

AB

sin60

=

30

sin45

，
解之得：AB=15

6

．答：貨輪距燈塔的距離AB=15

6

海里．

（2）過點B作AC的垂線BD，
在直角三角形ABD中，∠A=45°，AB=15

6

，
所以AD=15

3

，
在直角三角形BDC中，∠BCD=60°，BC=30°，可求得CD=15，所以AC=15

3

+15，
由題意得，

15 3 +15

sin75

=

15 6

sin60

，sin75=

6 + 2

4

．

點評：本題主要考查了方向角的含義，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和判定等知識點．