Question

如圖：正方形ABCD，∠EAF=45°．求證：
（1）BE+DF=EF．
（2）EF=

2

MN．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AH=AF，BH=DF，∠DAF=∠BAH，然后求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AEH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EH=EF，然后等量代換即可得證；
（2）連接AC，求出∠EAC=∠NAD，再根據(jù)正方形的對角線平分一組對角線可得∠ACE=∠ADN=45°，然后求出△ADN和△ACE相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AN

AE

=

AD

AC

=

2

2

，同理可得△ABM和△ACF相似，然后求出

AM

AF

=

AB

AC

=

2

2

，從而得到

AN

AE

=

AM

AF

，再求出△AMN和△AFE相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

MN

EF

=

AN

AE

=

2

2

，整理即可得證．

解答：證明：（1）如圖，將△ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AH=AF，BH=DF，∠DAF=∠BAH，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAH=∠EAF=45°，
在△AEF和△AEH中，

AH=AF ∠EAH=∠EAF AE=AE

，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF，
∵BE+BH=EH，
∴BE+DF=EF；

（2）連接AC，∵∠EAF=45°，
∴∠EAC+∠CAF=∠DAF+∠NAD，
∴∠EAC=∠NAD，
又∵∠ACE=∠ADN=45°，
∴△ADN∽△ACE，
∴

AN

AE

=

AD

AC

=

2

2

，
同理可得△ABM∽△ACF，
∴

AM

AF

=

AB

AC

=

2

2

，
∴

AN

AE

=

AM

AF

，
又∵∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE，
∴

MN

EF

=

AN

AE

=

2

2

，
∴EF=

2

MN．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用旋轉(zhuǎn)變換作出與EF長度相等EH是解題的關(guān)鍵，（2）難點在于求出相似三角形．