Question

如圖，拋物線的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，已知點坐標(biāo)為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）試探究的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；

（3）若點是線段下方的拋物線上一點，求的面積的最大值，并求出此時點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

則

∴拋物線的解析式為：

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4

∴又OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB

∴∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑

所以該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標(biāo)為

（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直線BC的解析式為：

設(shè)直線，則該直線的解析式可表示為：，當(dāng)直線與拋物線只有一個交點時，可列方程：，且△=0則

∴直線：．

由于，長度是定值，則當(dāng)最大（即點M到直線BC的距離最遠(yuǎn)）時，的面積最大

所以點M即直線和拋物線的唯一交點，則

解得：

即 M（2，﹣4）．