Question

（2013•溫州模擬）如圖，在Rt△OAB中，∠B=Rt∠，OB=2AB．線段AB的垂直平分線交反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）的圖象于點(diǎn)C，D為垂足，過C作CE⊥OB于點(diǎn)E．當(dāng)四邊形CDBE為正方形時(shí)，正方形CDBE的面積為

10

7

．

Answer 1

分析：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點(diǎn)，作CH⊥x軸于H點(diǎn)，設(shè)正方形CDBE的邊長為a，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得AB=2a，則OB=2AB=4a，且可得到DF為△OAB的中位線，所以FD=

1

2

OB=2a，則FC=2a-a=a，于是CP為△FDA的中位線，CP=

1

2

AD=

1

2

a，在Rt△CFP中，根據(jù)勾股定理計(jì)算出PF=

5

2

a，利用面積法計(jì)算出CH=

5

5

a，在Rt△CFH中，根據(jù)勾股定理計(jì)算HF=

2 5

5

a，OA=2

5

a，所以O(shè)F=

1

2

OA=

5

a，則可確定C點(diǎn)坐標(biāo)為（

7 5

5

a，

5

5

a），然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例解析式得到a²．

解答：解：延長EC、DC，分別交x軸與P、F點(diǎn)，作CH⊥x軸于H點(diǎn)，如圖，
設(shè)正方形CDBE的邊長為a，
∵FD垂直平分AB，
∴AB=2a，
∵OB=2AB，
∴OB=4a，
∵DF為△OAB的中位線，
∴FD=

1

2

OB=2a，
∴FC=2a-a=a，
∴CP為△FDA的中位線，
∴CP=

1

2

AD=

1

2

a，
在Rt△CFP中，PF=

CF2+CP2

=

5

2

a，
∴

1

2

CH•PF=

1

2

CP•CF，即

1

2

CH•

5

2

a=

1

2

a•

1

2

a，
∴CH=

5

5

a，
在Rt△CFH中，HF=

CF2-CH2

=

2 5

5

a，
在Rt△OAB中，OA=

OB2+AB2

=2

5

a，
∴OF=

1

2

OA=

5

a，
∴OH=OF+FH=

7 5

5

a，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（

7 5

5

a，

5

5

a），
把C（

7 5

5

a，

5

5

a）代入y=

2

x

得

7 5

5

a•

5

5

a=2，解得a²=

10

7

．
∴正方形CDBE的面積為

10

7

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和正方形的性質(zhì)；熟練運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算．