Question

2．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=50，AD=36，CD=27．點(diǎn)E從C出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F從A出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向D運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．過點(diǎn)F作FG⊥BC，垂足為G，連結(jié)AC交FG于P，連結(jié)EP．
（1）點(diǎn)E、F中，哪個(gè)點(diǎn)最先到達(dá)終點(diǎn)？
（2）求△PEC的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量t的取值范圍．當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；
（3）當(dāng)△CEP為銳角三角形時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）分別求得點(diǎn)E和點(diǎn)F到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間，進(jìn)行比較即可；
（2）根據(jù)△APF∽△ACD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，利用t表示出PF和PG的長(zhǎng)，然后利用三角形的面積公式得到函數(shù)解析式；
（3）求得當(dāng)∠CEP=90°時(shí)t的值，當(dāng)∠CPE=90°時(shí)，由△GEP∽△GPS求得t的值，即可確定t的范圍．

解答 解：（1）點(diǎn)E到達(dá)終點(diǎn)需要的時(shí)間是：$\frac{50}{5}$=10（秒），
點(diǎn)F到終點(diǎn)需$\frac{36}{4}$=9（秒），
則F最先到達(dá)終點(diǎn)；
（2）由題意得：AF=4t，CE=5t，
由△APF∽△ACD，
則$\frac{AF}{AD}$=$\frac{PF}{CD}$，得$\frac{4t}{36}$=$\frac{PF}{27}$，
∴PF=3t，PG=27-3t，
S=$\frac{1}{2}$CE•PG=$\frac{1}{2}$×5t•（27-3t）=-$\frac{15}{2}$t²+$\frac{135}{2}$t，自變量t的取值范圍是：0≤t≤9，當(dāng)t=4.5時(shí)，S的值最大；
（3）當(dāng)∠CEP=90°時(shí)，5t+4t=36，解得：t=4，
當(dāng)∠CPE=90°時(shí)，EG=9t-36，CG=36-4t，
由△GEP∽△GPS，得$\frac{GE}{PG}$=$\frac{PG}{CG}$，得方程（36t-4t）（9t-36）=（27-3t）²，
解得：t=5或9（舍去）．
則運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的取值范圍是4＜t＜5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形的性質(zhì)，用t正確表示出PF和PG的值是本題的關(guān)鍵．