Question

已知：四邊形ABED中，AD⊥DE、BE⊥DE．
（1）如圖1，點C是邊DE的中點，且AB=2AD=2BE．判斷△ABC的形狀：

 

（不必說明理由）；
（2）保持圖1中△ABC固定不變，將直線DE繞點C旋轉(zhuǎn)到圖2中所在的MN的位置（垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)）．試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明；
（3）保持圖2中△ABC固定不變，繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）．（2）中結(jié)論是否依然成立，若成立請證明；若不成立，請寫出新的結(jié)論，并給予證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖1，作CF⊥AB于點F．根據(jù)條件可以直接得出△CDA≌△CEB就可以得出AC=BC，∠ACB=90°而得出結(jié)論；
（2）如圖2，由（1）的結(jié)論可以得出△ADC≌△CEB，就可以得出AD=CE，DC=EB進而可以得出結(jié)論；
（3）如圖3，由（1）的結(jié)論可以得出△ADC≌△CEB，就可以得出AD=CE，DC=EB進而可以得出結(jié)論；，

解答：解：（1）等腰直角三角形．
理由：作CF⊥AB于點F．
∵AD⊥DE、BE⊥DE，
∴∠D=∠E=90°．
∵點C是邊DE的中點，
∴CD=CE．
∵AB=2AD=2BE，
∴AD=BE=

1

2

AB．
在△CDA和△CEB中

AD=BE ∠D=∠E CD=CE

，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AC=BC，∠1=∠2．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠BFC=90°，AF=BF=

1

2

AB．
．∴AF=AD=BF=BE．
在Rt△ADC和Rt△AFC中，

AC=AC AD=AF

，
∴Rt△ADC≌Rt△AFC（HL），
∴∠ACD=∠ACF．
在Rt△BEC和Rt△BFC中

BC=BC BF=BE

，
∴Rt△BEC≌Rt△BFC（HL），
∴∠BCF=∠BCE．
∵∠ACD+∠ACF+∠BCF+∠BCE=180°
∴∠ACD=∠ACF=∠BCF=∠BCE=45°，
∴∠ACB=90°
∴△ACB是等腰直角三角形．
故答案為：等腰直角三角形；
（2）DE=AD+BE；
證明：如圖2，
∵∠ACB=∠D=90°，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，

∠D=∠E ∠CAD=∠2 AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，CE=AD，
∵DE=DC+CE，
∴DE=BE+AD；
（3）DE=BE-AD   
如圖3，∵∠ACB=∠D=90°，
∵∠1+∠CAD=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠CAD=∠2．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，

∠ADC=∠CEB ∠CAD=∠2 AC=CB

，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴DC=BE，CE=AD．
∵DE=DC-CE，
∴DE=BE-AD．

點評：本題考查了等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，直角三角形的性質(zhì)的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．