Question

已知直線y=-

1

2

x+m（m≠0）與x軸、y軸分別交于點A、B，點C的坐標是（1，0）．
（1）求經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式（解析式中可以含字母m）；
（2）在平面直角坐標系內(nèi)有一點D，使四邊形ABCD為菱形，求點D的坐標；
（3）設（1）中的拋物線的頂點為M，對稱軸與x軸的交點為N，當m＞0時，如果Rt△CMN與Rt△OBC相似，求此時拋物線的解析式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：常規(guī)題型

分析：（1）根據(jù)該拋物線經(jīng)過A、B、C三點即可解題；
（2）四邊形ABCD為菱形，即BD∥AC，AD∥BC即可，即可求得點D的坐標；
（3）根據(jù)Rt△CMN與Rt△OBC相似即可求得m的值，即可解題．

解答：解：（1）設經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵直線y=-

1

2

x+m（m≠0）與x軸、y軸分別交于點A、B，
∴A（2m，0），B（0，m），
代入A、B、C三點得方程組

4m2+2mb+c=0 c=m a+b+c=0

，
解得a=

1

2

，b=-（m+

1

2

），c=m，
∴經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的解析式為y=

1

2

x²-（m+

1

2

）x+m；
（2）①2m＞1時，點D坐標為（2m-1．m），
當2m＜1時，點D坐標為（1-2m，m）；
（3）∵y=

1

2

x²-（m+

1

2

）x+m，的頂點為M，其中m＞0，
M點橫坐標為m+

1

2

，縱坐標為-

1

2

(m-

1

2

)2，
當Rt△CMN與Rt△OBC相似時，

MN

CN

=

OB

OC

，
化簡得|m-

1

2

|=2m，解得m=

1

6

，
∴此時拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-（m+

1

2

）x+m；
化簡得y=

1

2

x²-

2

3

x+

1

6

．

點評：本題考查了相似三角形對應邊比例相等的性質(zhì)，考查了一元二次方程組的求解，考查了拋物線頂點問題．