Question

【題目】如圖，已知拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）若點(diǎn)為第二象限拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，求面積的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在點(diǎn)使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出一共有幾個(gè)符合條件的點(diǎn)（簡(jiǎn)要說(shuō)明理由）并寫(xiě)出其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在這樣的點(diǎn)，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-，）；（3）存在．共有5個(gè)點(diǎn)，其中一個(gè)是（-1，4）．

【解析】

（1）由拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（-3，0），利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A與B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式即可求得a與b的值，則可得此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)已知可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后作輔助線(xiàn)：EF∥AB，設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），由S△BEC=S梯形OBEF+S△EFC-S△BOC即可求得關(guān)于x的二次函數(shù)，配方即可求得x的值，代入解析式，求得y的值；
（3）分別從AP=BP與AB=BP與AB=AP去分析，可得到存在符合條件的點(diǎn)有5個(gè)，其中最好求的是P在頂點(diǎn)時(shí)的坐標(biāo)，配方求解即可．

（1）將點(diǎn)A與B的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式得： ，
解得：，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）∵拋物線(xiàn)的解析式為：y=-x2-2x+3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（x，y），過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交y軸于F，
∴EF=-x，OB=3，OC=3，OF=-x2-2x+3，CF=3-（-x2-2x+3）=x2+2x，

∴S△BEC=S梯形OBEF+S△EFC-S△BOC
=（EF+OB）OF+EFCF-OBOC
=×（-x+3）×（-x2-2x+3）+×（-x）×（x2+2x）-×3×3
=-（x+）2+，
∴當(dāng)x=-時(shí)，△BCE的面積最大，最大面積為；
∴y=-x2-2x+3=，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-，）；

（3）存在．
如果AP=BP，則點(diǎn)P在AB的垂直平分線(xiàn)上，即是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，
∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）；
如果AB=BP，則如圖①：
如果AB=AP，則如圖②：
∴存在使得△ABP為等腰三角形的P點(diǎn)5個(gè)；
有一點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，4）．