Question

已知：對于任意兩個二次函數y₁=a₁x²+b₁x+c₁，y₂=a₂x²+b₂x+c₂，其中 a₁·a₂≠0，當|a₁|=|a₂|時，我們稱這兩個二次函數的圖象為全等拋物線，現有△ABM，A（-1，0），B（1，0），我們記過三點的二次函數的圖象為“C_□□□”（”□□□“中填寫相應三個點的字母），如過點A、B、M三點的二次函數的圖象為C_ABM。
（1）如果已知M（0，1），△ABM≌△ABN，請通過計算判斷C_ABM與C_ABN是否為全等拋物線；
（2）①若已知M（0，n），在圖中的平面直角坐標系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形，并求拋物線C_ABM的解析式，然后請直接寫出所有過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線解析式；
②若已知M（m，n），當m，n滿足什么條件時，存在拋物線C_ABM？根據以上的探究結果，在圖中的平面直角坐標系中，以A、B、M三點為頂點，畫出平行四邊形，然后請列出所有滿足過平行四邊形中三個頂點且能與C_ABM全等的拋物線C_□□□。

Answer 1

解：（1）設拋物線CABM的解析式為y=ax2+bx+c， 如圖（1），∵拋物線CABM過點A（-1，0），B（1、0），M（1，1），得  解得 ∴拋物線CABM式為y=-x2+1， 同理可得拋物線CABN的解析式為y=x2-1， ∴CABM與CABN是全等拋物線。
（2）①如圖（2）， 設拋物線CABN的解析式為y=a′x2+b′x+c′， ∵拋物線CABM過點A（-1，0），B（1，0），M（0，n）， ∴0=a′-b′+c′，0=a′+b′+c′，n=c′  解得a′=-n，b′=0，c′=n， ∴拋物線CABM的解析式為y=-nx2+n， 所有與CABM全等的拋物線有： y=nx2-n，y=n（x-1）2，y=n（x+1）2， ②如圖（3），當n≠0且m≠1時，存在拋物線CABM， 與CABM全等的拋物線有：CABN、CAME、CBMF。