Question

15．如圖，AB是⊙O直徑，Rt△ACD的直角邊CD與⊙O相切，切點(diǎn)為C，直角邊AD與⊙O相交于點(diǎn)E，∠BAC=22.5°，
（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）求$\frac{CD}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （1）連接OC，根據(jù)平行線和等腰三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）連接BE交OC于F，由垂徑定理得到EF=$\frac{1}{2}$BE，由AB是⊙O直徑，得到∠FED=90°，證得四邊形DEFC是矩形，得到CD=EF=$\frac{1}{2}$BE，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)化簡(jiǎn)得到結(jié)果．

解答 （1）證明：連接OC，
∵CD與⊙O相切，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC
∴∠2=∠3，
∵AO=OD，
∴∠1∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠BAD；

（2）解：如圖2，連接BE交OC于F，
∵∠1=∠2，
∴$\widehat{CE}=\widehat{BC}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$BE，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠FED=90°，
∴∠D=∠FED=∠FCD=90°，
∴四邊形DEFC是矩形，
∴CD=EF=$\frac{1}{2}$BE，
∵∠BAC=22.5°，
∴∠EAB=45°，
∴AE=BE，
∴CD=$\frac{1}{2}$AE，
∴$\frac{CD}{AE}=\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．