Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點E是BC上一點，連接AE，點F是AE上一點，連接FC，若∠BAE＝∠EFC，CF＝CD，AB：BC＝3：2，AF＝4，則FC的長為_____．

Answer 1

【答案】6

【解析】

根據矩形的性質得到AB=CD，過B作BG⊥AE于G，過C作CH⊥AE于H，根據全等三角形的性質得到AG=FH，BG=CH，求得AF=GH=4，根據全等三角形的性質得到GE=HE=2，BE=CE，設AB=CF=3x，BC=2x，根據勾股定理得到AE==，列方程即可得到結論．

解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，

∵CF＝CD，

∴AB＝CF，

過B作BG⊥AE于G，過C作CH⊥AE于H，

∴∠AGB＝∠FHC＝90°，

在△ABG與△FCH中，

，

∴△ABG≌△FCH（AAS），

∴AG＝FH，BG＝CH，

∴AF＝GH＝4，

在△EBG與△ECH中，

，

∴△EBG≌△ECH（AAS），

∴GE＝HE＝2，BE＝CE，

∵AB：BC＝3：2，

∴設AB＝CF＝3x，BC＝2x，

∴BE＝CE＝x，

∴AE＝＝，

∵∠ABC＝90°，BG⊥AE，

∴△BEG∽AEB，

∴BE2＝EGAE，

∴AE＝，

∴，

∴x＝2，x＝0（不合題意舍去），

∴CF＝3x＝6，

故答案為6．