Question

拋物線與x軸交于A（-1，0）、B兩點，與y軸交于點C（0，-3），拋物線頂點為M，連接AC并延長AC交拋物線對稱軸于點Q，且點Q到x軸的距離為6。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在拋物線上找一點D，使得DC與AC垂直，求出點D的坐標；
（3）拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得S_△PAM=3S_△ACM，若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設直線AC的解析式為         把A（-1，0）代入得         ∴直線AC的解析式為         依題意知，點Q的縱坐標是-6         把代入中，解得 ，∴點 Q（1，-6）         ∵點Q在拋物線的對稱軸上，∴拋物線的對稱軸為直線          設拋物線的解析式為         由題意，得  解得         ∴拋物線的解析式為 （2）如圖①，過點C作AC的垂線交拋物線于點D，交x軸于點N，         則 ∴        ∴  ∵，，∴        ∴點N的坐標為（9，0） 可求得直線CN的解析式為     由解得，即點D的坐標為（，） （3）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，依題意，得        ，，       ∵      且，又  ∴      設P（1，m）      ①當點P在點M上方時，PM=m+4=3，     ∴ ，∴P（1，-1）     ②當點P在點M下方時，PM=-4-m=3， ∴     ∴P（1，-7）    綜上所述，點P的坐標為（1，-1），（1，-7）