Question

⊙O中，AB為直徑，CD平分∠ACB交⊙O于D，求證：

CA+CB

CD

=

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理

專題：證明題

分析：根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，以及角平分線的定義可得∠ACD=∠BCD=45°，過(guò)A作AM⊥CD，過(guò)B作BN⊥CD，垂足分別為M、N，得到△ACM與△BCN都是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系可得CM=

2

2

AC，BN=

2

2

BC，再利用角角邊定理證明△ADM與△BDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到DN=AM，所以DN=CM，從而得到CM+CN=DN+CN=CD，整理即可得證．

解答：證明：過(guò)A作AM⊥CD，過(guò)B作BN⊥CD，垂足分別為M、N，
∵AB為直徑，CD平分∠ACB交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴△ACM與△BCN都是等腰直角三角形，AD=BD，
在Rt△ACM中，CM=

2

2

AC，在Rt△BCN中，CN=

2

2

BC，
∴CM+CN=

2

2

（AC+BC），
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADM+∠BDN=90°，
又∵∠BDN+∠DBN=90°，
∴∠ADM=∠DBN，
在△ADM與△BDN中，

∠ADM=∠DBN ∠AMD=∠DNB=90° AD=BD

，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴DN=AM，
又∵AM=CM（等腰直角三角形兩直角邊相等），
∴CM=DN，
∴CD=CN+DN=CN+CM=

2

2

（AC+BC），
∴

AC+BC

CD

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線構(gòu)造出等腰直角三角形與全等三角形是解題的關(guān)鍵．