Question

13．如圖1，在平面直角坐標系中，OABC是邊長為1的正方形，E是AB上一動點，D是OA上一動點，且OD=AE，OE與CD交于點F．
（1）求證：CD⊥OE；
（2）如圖2，當點E為AB的中點時，求BF的長；
（3）如圖3，設M、N分別為DE、BC的中點，當FM+MN的值最小時，求此時點E的坐標．

Answer 1

分析 （1）ASA可證Rt△OCD≌Rt△AOE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CD⊥OE；
（2）方法一：如圖2，延長CB與OE，相交于點G．由E為AB的中點，易證△EBG≌△EAO，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得BF的長；
方法二：由E為AB的中點，可知E（1，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，0），待定系數(shù)法可得直線OE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，直線CD的解析式為y=-2x+1，再根據(jù)勾股定理可得BF的長；
（3）如圖3，連結(jié)AM，由（1）可知∠DFE=90°，可得當FM+MN的值最小時，即AM+MN的值最小，此時點M必然在線段AN上，
方法一：由AM=ME，∠MAE=∠MEA，根據(jù)三角函數(shù)可設OD=AE=t，則AD=1-t（0≤t≤1），可得$\frac{1-t}{t}$=$\frac{1}{2}$，解得t=$\frac{2}{3}$．從而得到點E的坐標；
方法二：設OD=AE=t，則E（1，t），D（t，0）（0≤t≤1），得到DE的中點M的坐標為（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t}{2}$），得到方程$\frac{t}{2}$=-2×$\frac{t+1}{2}$+2，解得t=$\frac{2}{3}$．從而得到點E的坐標．

解答 （1）證明：在Rt△OCD和Rt△AOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=AO=1}\\{∠COD=∠OAE=90°}\\{OD=AE}\end{array}\right.$，
∴Rt△OCD≌Rt△AOE（SAS），
∴∠OCD=∠AOE，
∵∠OCD+∠ODC=90°，
∴∠AOE+∠ODC=90°，即CD⊥OE；
（2）解：方法一：如圖2，延長CB與OE，相交于點G．
由E為AB的中點，
易證△EBG≌△EAO，
∴點B為CG的中點，
由（1）可知△CFG是Rt△，
∴BF=$\frac{1}{2}$CG=BC=1；
方法二：由E為AB的中點，可知E（1，$\frac{1}{2}$），D（$\frac{1}{2}$，0），
∴直線OE的解析式為y=$\frac{1}{2}$x，
直線CD的解析式為y=-2x+1，
∴點F的坐標為（$\frac{2}{5}$，$\frac{1}{5}$），
∴BF=$\sqrt{（1-\frac{2}{5}）^{2}+（1-\frac{1}{5}）^{2}}$=1；
（3）解：如圖3，連結(jié)AM，
由（1）可知∠DFE=90°，
∵∠EAD=90°，M為DE的中點，
∴AM=FM=$\frac{1}{2}$DE，
當FM+MN的值最小時，即AM+MN的值最小，
此時點M必然在線段AN上，
方法一：
由AM=ME，∠MAE=∠MEA，
∴tan∠MEA=$\frac{AD}{AE}$=tan∠MAE=$\frac{BN}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
設OD=AE=t，則AD=1-t（0≤t≤1），
∴$\frac{1-t}{t}$=$\frac{1}{2}$，
解得t=$\frac{2}{3}$．
∴此時點E的坐標為（t，$\frac{2}{3}$）．
方法二：
設OD=AE=t，則E（1，t），D（t，0）（0≤t≤1），
∴DE的中點M的坐標為（$\frac{t+1}{2}$，$\frac{t}{2}$），
∵直線AN的解析式為y=-2x+2，
∴$\frac{t}{2}$=-2×$\frac{t+1}{2}$+2，
解得t=$\frac{2}{3}$．
∴此時點E的坐標為（t，$\frac{2}{3}$）．

點評 考查了四邊形綜合題，涉及的知識點有：全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求直線解析式，勾股定理，三角函數(shù)，綜合性較強，有一定的難度．