Question

在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)A（-3，0）為圓心，半徑為5的圓與x軸相交于點(diǎn)B，C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊），與y軸相交于點(diǎn)D，M（點(diǎn)D在點(diǎn)M的下方）．
（1）求以直線x=-3為對稱軸，且經(jīng)過點(diǎn)C，D的拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P是該拋物線對稱軸上的一個(gè)動點(diǎn)，求PC+PD的取值范圍；
（3）若E為這個(gè)拋物線對稱軸上的點(diǎn)，則在拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使得以點(diǎn)B，C，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓的對稱性，圓心的坐標(biāo)和圓的半徑可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)為（-8，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，4），D點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-4）．已知拋物線過C，D兩點(diǎn)，且對稱軸為x=-3，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)出拋物線的解析式，然后將C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線中即可得出過C、D兩點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式．
（2）由于P是動點(diǎn)，因此PC+PD的最大值可以視作為無窮大；那么求PC+PD最小值時(shí)，關(guān)鍵是找出P點(diǎn)的位置，由于B、C關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此連接BC，直線BC與拋物線對稱軸的交點(diǎn)就是PC+PD最小時(shí)P點(diǎn)的位置．那么此時(shí)PC+PD=BD，可在直角三角形BOD中用勾股定理求出BD的長，即可得出PC+PD的取值范圍．
（3）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)平行四邊形以BC為邊時(shí)，可在x軸上方找出兩個(gè)符合條件的點(diǎn)，由于EF平行且相等于BC，那么可根據(jù)BC的長和拋物線的對稱軸得出此時(shí)F點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式中即可求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．
②平行四邊形以BC為對角線，可在x軸下方找出一個(gè)符合條件的點(diǎn)且此時(shí)F點(diǎn)正好是拋物線的頂點(diǎn)．
解答：解：（1）設(shè)以直線x=-3為對稱軸的拋物線的解析式為y=a（x+3）²+k，
由已知得點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為C（2，0）、D（0，-4），分別代入解析式中，
得，
解得，
∴y=（x+3）²-為所求；

（2）（圖1）∴點(diǎn)C（2，0）關(guān)于直線x=-3的對稱點(diǎn)為B（-8，0），
∴使PC+PD值最小的P點(diǎn)是BD與直線x=-3的交點(diǎn)．
∴PC+PD的最小值即線段BD的長．
在Rt△BOD中，由勾股定理得BD=4，
∴PC+PD的最小值是4
∵點(diǎn)P是對稱軸上的動點(diǎn)，
∴PC+PD無最大值．
∴PC+PD的取值范圍是PC+PD≥4．

（3）存在．
①（圖2）當(dāng)BC為所求平行四邊形的一邊時(shí)．
點(diǎn)F在拋物線上，且使四邊形BCFE或四邊形BCEF為平行四邊形，則有BC∥EF且BC=EF，
設(shè)點(diǎn)E（-3，t），過點(diǎn)E作直線EF∥BC與拋物線交于點(diǎn)F（m，t）．
由BC=EF，得EF=1O．
∴F₁（7，t），F(xiàn)₂（-13，t）．
又當(dāng)m=7時(shí)，t=
∴F₁（7，），F(xiàn)₂（-13，）；

②（圖3）當(dāng)BC為所求平行四邊形的對角線時(shí)．
由平行四邊形的性質(zhì)可知，點(diǎn)F即為拋物線的頂點(diǎn)（-3，）
∴存在三個(gè)符合條件得F點(diǎn)，分別為F₁（7，），F(xiàn)₂（-13，），F(xiàn)₃（-3，）．
點(diǎn)評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．